14-§. Egri chiziqli korrelyatsiyaning eng sodda hollari

14-§. Egri chiziqli korrelyatsiyaning eng sodda hollari
Agar regressiya grafigi yoki egri chiziq bilan tasvirlanadigan boʻlsa, korrelyatsiya egri chiziqli deyiladi. Masalan, uning X ga regressiya funksiyalari quyidagi koʻrinishlarda boʻlishi mumkin:

= ax²+bx+ c (ikkinchn tartibli parabolik korrelyatsiya);

=ax³+bx²+cx+d (uchinchi tartibli parabolik korrelyatsiya):

(giperbolik korrelyatsiya).
Egri chiziqli korrelyatsiya nazariyasi chiziqli korrelyatsiya nazariyasi qaysi masalalarni hal qilsa, shu masalalarni (korrelyatsion bogʻlanish shakli va zichligini aniqlash) hal qiladi.

Regressiya tenglamasining nomaʼlum parametrlari eng kichik kvadratlar usuli bilan izlanadi. Egri chiziqli korrelyatsiya zichligini baxolash uchun tanlanma korrelyatsion nisbatlar xizmat qiladi (11-§).

Ishning moxiyatini aniqlash maqsadida ikkinchi tartibli parabolik korrelyatsiya bilan cheklanamiz, bunda n ta kuzatish (tanlanma) maʼlumotlari xuddi shunday korrelyatsiya oʻrinli deb atashga imkon beradi deb hisoblaymiz. Bu holda Y ning X ga tanlanma regressiya tenglamasi ushbu koʻrinishda boʻladi

= Ax²+ Bx + C, (*)
bu yerda A, B,C— nomaʼlum parametrlar.

Eng kichik kvadratlar usulidan foydalanib, nomaʼlum parametrlarga nisbatan chiziqli tenglamalar sistemasi hosil qilinadi:

(**)
(formulani keltirib chiqarish tushirib qoldirildi, chunki u 4-§ dagiga nisbatan yangilik kiritmaydi).

Bu sistemadan topilgan A, B,C parametrlar (*) ga qoʻyiladi, natijada izlanayotgan regressiya tenglamasi hosil qilinadi.

23-jadval

y x	1	1,1	1,2
6	8	2	－	10
7	－	30	－	30
7,5	－	1	9	10
		33	9	n=50
		6,73	7,5

Misol. 23-korrelyatsiyion jadvaldagi ma’lumotlarga asosan Y ning X ga = Ax²+ Bx + C ko’rinishdagi tanlanma tenglamasini toping.

24. 
    hisoblash jadvalini tuzamiz
    
25. 
    jadvalning pastki sirtidagi sonlarni (yig’indilarni) (**) ga qo’yib , sistema xosil qilamiz:
    

24-jadval.

x
1	8	6	8	8	8	8	48	48	48
1,1	33	6,73	86,3	39,93	43,93	48,32	222,09	244,30	268,73
1,2	9	7,5	10,8	12,96	15,55	18,66	67,50	81	97,20
Σ	50	－	55,1	60,89	67,48	74,98	337,59	373,30	413,93

Bu sistemani yechib, quyidagini topamiz

A=1,94 , B=2,98 , C=1,10.

Izlanayotgan regressiya tenglamasini yozamiz:

.

Bu tenglama boʻyicha hisoblangan shartli oʻrtacha qiymatlar korrelyatsion jadvaldagi shartli oʻrtacha qiymatlardan sal farq qilishiga osongina ishonch hosil qilish mumkin. Masalan,x₁=1 da: jadval bo’yicha y₁=6; tenglama boʻyicha y₁=1,94+2,98+1,10=6,02. Shunday qilib, topilgan tenglama kuzatish (tanlanma) maʼlumotlari bilan yaxshi mos keladi.
15-§. Toʻplamiy korrelyatsiya haqida tushuncha
Ushbu paragrafga kadar korrelyatsion bogʻlanish ikkita belgi orasida qaralgan edi. Agar bir necha belgi orasidagi bogʻlanish oʻrganilayotgan boʻlsa, korrelyatsiya toʻplamiy korrelyatsiya deyiladi.

Eng oddiy holda belgilar soni uchta va ular orasidagi bogʻlanish chiziqli boʻladi:

z=ax + by + s

Bunday holda quyidagi masalalar yuzaga keladi:

1) kuzatish maʼlumotlari boʻyicha bogʻlanishning

z= Ax + By + C (*)

koʻrinishdagi tanlanma tenglamasini, yaʼni A va B pegressiya koeffitsiyentlarini hamda C parametrni topish;

2) Z bilan ikkala X, U belgi orasidagi bogʻlanish zichligini aniqlash;

3) Z va X (Y oʻzgarmas boʻlganda) orasidagi, Z va Y (X oʻzgarmas boʻlganda) orasidagi bogʻlanish zichligini baholash.

Birinchi masala eng kichik kvadratlar usuli yordamida yechiladi, bunda (*) tenglama oʻrniga



koʻrinishdagi bogʻlanish tenglamasini izlash qulayroq, bu yerda

;

Bu yerda mos ravishda X va Z, Y va Z, X va Y belgilar orasidagi korrelyatsiya koeffitsiyentlari; oʻrtacha kvadratik chetlanishlar.

Z belgining X, Y belgilar bilan bogʻlanish zichligi ushbu tanlanma toʻplamiy korrelyatsiya koyeffitsiyenti bilan baholanadi:



shu bilan birga 0≤R ≤1.

Z va X (Y oʻzgarmas boʻlganda), Z va Y (X oʻzgarmas bo’lganda) orasidagi bogʻlanish zichligi mos ravishda ushbu xususiy tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyentliri bilan baholanadi:





Bu koeffitsiyentlar oddiy tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyenti ega boʻlgan oʻsha xossalarga va oʻsha maʼnoga ega, yaʼni ular belgilar orasidagi chiziqli bogʻlanishni baholash uchun xizmat qiladi.

Masalalar.

1-2. masalalarda korrelyatsion jadvallar berilgan: a)r_T ni b) regressiya toʻgʻri chiziqlari tanlanma tenglamalarini; d) va ni toping.

1.

y x	5	10	15	20
10	2	－	－	－	2	5
20	5	4	1	－	10	8
30	3	8	6	3	20	12,25
40	－	3	6	6	15	16
50	－	－	2	1	3	16,67
	10	15	15	10	n=50
	21	29,33	36	38

Javobi.a)0,636; b) =1,17x+16,78; =0,345y+1,67; d)

2.

y x	65	95	125	155	185	215
30	5	－	－	－	－	－	5	65
40	4	12	－	－	－	－	16	87,5
50	－	8	5	4	－	－	17	101,18
60	－	1	5	7	2	－	15	145
70	－	－	－	－	1	1	2	200
	9	21	10	11	3	1	n=55
	34,44	44,76	55	56,36	63,33	70

Javobi.a)0,825; b) =0,23x+21,78; =2,92y-27,25; d) =0,859, =0,875.
3.

y x	2	3	5
25	20	－	－	20
45	－	30	1	31
110	－	1	48	49
	20	31	49	n=100

Javobi. =2,94x³ +7,27x-1,25.
4.

y x	1	2
2	30	1	31
6	1	18	19
	31	19	n=50

Javobi. =0,39x²+2,49x-0,75.
Oʻn toʻqqizinchi bob
STATISTIK GIPOTEZALARNING STATISTIK TEKSHIRILISHI

1. 
   §. Statistik gipoteza. Nol va konkurent,
   

oddiy va murakkab gipotezalar
Koʻpincha bosh toʻplam taqsimot qonunini bilish zarur boʻladi. Agar taqsimot qonuni nomaʼlum, lekin u tayin koʻrinishga (uni A deb ataymiz) ega deb taxmin qilishga asos bor boʻlsa, u holda quyidagi gipoteza ilgari suriladi; bosh toʻplam A konun boʻyicha taqsimlangan. Shunday qilib bu gipotezada gap taxmin qilinayotgan taqsimotning koʻrinishi haqida bormoqda.

Taqsimot qonuni maʼlum, uning parametrlari esa nomaʼlum boʻlgan hol boʻlishi mumkin. Agar θ nomaʼlum parametr tayin θ₀ qiymatga teng deb taxmin qilishga asos bor boʻlsa, u holda ushbu gipoteza olgʻa suriladi: θ=θ₀ . Shunday qilib bu gipotezada gap maʼlum taqsimot parametrining taxmin qilinayotgan kattaligi xaqida bormoqda.

Boshqacha gipotezalar ham boʻlishi mumkin: ikki yoki bir necha taqsimot parametrlarining tengligi haqida, toʻplamlarning erkinligi haqida va boshqa koʻp gipotezalar.

Statistik gipoteza deb nomaʼlum taqsimotning koʻrinishi haqida yoki maʼlum taqsimotning parametrlari haqidagi gipotezaga aytiladi.

Masalan, quyidagi gipotezalar statistik gipoteza boʻladi:

1. 
   bosh toʻplam Puasson qonuni boʻyicha taqsimlangan;
   
2. 
   ikkita normal toʻplamning dispersiyalari oʻzaro teng.
   

Birinchi gipotezada nomaʼlum taqsimotning koʻrinishi haqida, ikkinchisida ikkita maʼlum taqsimotning parametrlari haqida taxmin qilingan. “1980-yilda urush boʻlmaydi” gipotezasi statistik gipoteza emas, chunki unda taqsimotning na koʻrinishi haqida, na parametrlari haqida soʻz boradi.

Olgʻa surilgan gipoteza bilan bir vaqtda unga zid giloteza ham qaraladi. Agar olgʻa surilgan gipoteza rad qilinsa, u holda zid gipoteza oʻrinli boʻladi. Shu sababli bu gipotezalarni bir-biridan farq qilish maqsadga muvofiqdir.

Nolinchi (asosiy) gipoteza deb olgʻa surilgan H₀ gipotezaga aytiladi. Konkurent (alternativ) gipoteza deb nolinchi gipotezaga zid boʻlgan H₁ gipotezaga aytiladi.

Masalan, nolinchi gipoteza normal taqsimotning a matematik kutilishi 10 ga teng degan taxmindan iborat boʻlsa, u holda konkurent gipoteza jumladan, a ≠ 10 degan taxmindan iborat boʻlishi mumkin. Bu qisqacha bunday yoziladi:

H₀: a=10; H₁: a≠10

Faqat bitta va bittadan ortiq taxminlarni oʻz ichiga olgan gipotezalar bir-biridan farq qilinadi.

Oddiy gipoteza deb fakat bitta taxminni oʻz ichiga olgan gipotezaga aytiladi. Masalan, agar λ koʻrsatkichli taqsimotning parametri boʻlsa, u holda H₀: λ=5 gipoteza oddiy. H₀:normal taqsimotning matematik kutilishi 3 ga teng (σ-maʼlum) gipoteza－oddiy.

Murakkab gipoteza deb chekli yoki cheksiz sondagi oddiy gipotezalardan iborat gipotezalarga aytiladi. Masalan, H:λ> 5 murakkab gipoteza ushbu H₁:λ= b_i (bu yerda b_i 5 dan katta istalgan son) koʻrinishdagi oddiy gipotezalarning cheksiz koʻp toʻplamidan iborat. H₀ normal taqsimotning matematik kutilishi 3 ga teng (σ-nomaʼlum) gipoteza murakkab gipotezadir.
2-§. Birinchi va ikkinchi tur xatolar
Olgʻa surilgan gipoteza toʻgʻri yoki notoʻgʻri, boʻlishi mumkin, shu tufayli uni tekshirish zarurati tugʻiladi. Tekshirish statistik metodlar bilan bajarilgani sababli, uni ham statistik tekshirish deyiladi. Gipotezani statistik tekshirish natijasida ikki holda notoʻgʻri qarorga kelinishi, yaʼni ikki turdagi xatoga yoʻl qoʻyilishi mumkin.

Birinchi tur xato shundan iboratki, bunda toʻgʻri gipoteza rad qilinadi.

Ikkinchi tur xato shundan iboratki, bunda notoʻgʻri gipoteza qabul qilinadi.

Bu xatolarning oqibatlari har xil boʻlishi mumkinligini qayd qilib oʻtamiz. Masalan, “binoni qurish davom ettirilsin” degan toʻgʻri qaror rad etilgan boʻlsa, u holda birinchi tur bu xato moddiy zararga olib keladi; agar binoning agʻdarilib tushish xavfiga qaramasdan “kurilish davom ettirilsin” degan qaror qabul qilingan boʻlsa, u xolda ikkinchi tur bu xato kishilarning halokatiga olib kelishi mumkin. Albatga, birinchi tur xato ikkinchi tur xatoga qaraganda ogʻirroq oqibatlarga olib keladigan misollar ham keltirish mumkin.

1. 
   eslatma. Toʻgʻri qaror ham ikki holda qabul qilinishi mumkin
   

1. 
   gipoteza qabul qilinadi, u aslida ham toʻgʻri edi;
   
2. 
   gipoteza rad qilinadi; u aslida ham notoʻgʻri edi.
   

2- eslatma. Birinchi tur xatoga yoʻl qoʻyish ehtimolini orqali belgilash qabul qilingan; u qiymatdorlik darajasi deyiladi. Qiymatdorlik darajasi koʻpincha 0,05 yoki 0,01 ga teng qilib olinadi. Agar, masalan, qiymatdorlik darajasi 0,05 ga teng qilib olinadigan boʻlsa, u holda bu yuzta xoldan beshtasida biz birinchi tur xatoga yoʻl qoʻyishimiz (toʻgʻri gipotezaan rad kilishimiz) mumkinligini anglatadi.
3-§. Nolinchi gipotezani tekshirishning statistik kriteriysi.

Kriteriyning kuzatiladigan qiymati
Nolinchi gipotezani tekshirish maqsadida maxsus tanlangan va aniq yoki taqribiy taqsimoti maʼlum boʻlgan tasodifiy miqdor ishlatiladi. Bu miqdorni, agar u normal taqsimlangan boʻlsa. U yoki Z orqali, Fisher-Snedekor qonuni boʻyicha taqsimlangan boʻlsa, F yoki v² orqali. Styudent qonuni boʻyicha taqsimlangan boʻlsa, T orqali, “xi kvadrat” qonuni bo’yicha taqsimlangan boʻlsa, χ² orqali belgilanadi va h.k. Ushbu paragrafda taqsimotning koʻrinishi eʼtiborga olinmagani uchun bu miqdorni, umumiylik nuktai nazaridan, K orqali belgilaymiz.

Statistik kriteriy (yoki oddiygina kriteriy) deb nolinchi gipotezani tekshirish uchun xizmat qiladigan K tasodifiy miqdorga aytiladi.

Masalan, ikkita normal taqsimlangan bosh toʻplam dispersiyalarining tengligi haqidagi gipoteza tekshirilayotgan boʻlsa, u holda K kriteriy sifatida tuzatilgan tanlanma dispersiyalar nisbati olinadi:

Bu miqdor tasodifiydir, chunki turli tajribalarda dispersiyalar har xil, oldindan maʼlum boʻlmagan qiymatlar qabul qiladi. U Fisher --Snedekor qonuni boʻyicha taqsimlangan.

Gipotezani tekshirish uchun kriteriyga kirgan miqdorlarning xususiy qiymatlari tanlanmalardagi maʼlumotlar boʻyicha hisoblanadi va, shunday kilib, kriteriyning xususiy (kuzatiladigan) qiymati hosil qilinadi.

Kuzatiladigan qiymat K_kuzat. deb kriteriyning tanlanmalar boʻyicha hisoblangan qiymati belgilanadi.

Masalan, normal bosh toʻplamlardan olingan ikkita tanlanma boʻyicha = 20 va = 5 tuzatilgan tanlanma dispersiyalar topilgan boʻlsa, u holda F kriteriyning kuzatiladigan qiymati:

4-§. Kritik soha. Gipotezaning qabul qilinish sohasi.

Kritik nuqtalar
Tegishli kriteriy tanlangandan soʻng, uning mumkin boʻlgan barcha qiymatlari toʻplami ikkita kesishmaydigan qism toʻplamga ajratiladi: ulardan biri kriteriyning nolinchi gipoteza rad qilinadigan, ikkinchisi esa nolinchi gipoteza qabul qilinadigan qiymatlarini oʻz ichiga oladi.

Kritik soxa deb kriteriyning nolinchi gipoteza rad qilinadigan qiymatlari toʻplamiga aytiladi.

Gipotezaning qabul qilinish sohasi (yoʻl qoʻyiladigan qiymatlar sohasi) deb kriteriyning gipoteza qabul qilinadigan qiymatlari toʻplamiga aytiladi.

Statistik gipotezalarni tekshirishning asosiy prinsipini bunday taʼriflash mumkin: agar kriteriyning kuzatiladigan qiymati kritik sohaga tegishli boʻlsa, gipoteza rad qilinadi, agar kriteriyning kuzatilayotgan qiymati gipotezaning qabul qilinish sohasiga tegishli boʻlsa, gipoteza qabul qilinadi.

K kriteriy bir oʻlchovli tasodifiy miqdor boʻlgani uchun uning mumkin boʻlgan barcha qiymatlari biror intervalga tegishli boʻladi. Shu sababli kritik soha va gipotezaning qabul qilinish sohasi ham intervallar boʻladi va demak, ularni ajratib turadigan nuqtalar mavjud.

Kritik nuqtalar (chegaralar) k_kr deb kritik sohani gipotezaning qabul qilinish sohasidan ajratib turadigan nuqtalarga aytiladi.

Bir tomonlama (oʻng tomonlama va chap tomonlama) va ikki tomonlama kritik sohalar farq qilinadi.

Oʻng tomonlama kritik soha deb K>k_kr tengsizlik bilan aniqlanadigan kritik sohaga aytiladi, bu yerda kir - musbat son (23-a rasm).

Chap tomonlama kritik soxa deb Kkr tengsizlik bilan aniqlanadigan kritik sohaga aytiladi, bu yerda k_kr -manfiy son (23-b rasm).

Bir tomonlama kritik soxa deb oʻng tomonlama yoki chap tomonlama kritik sohaga aytiladi.

Ikki tomonlama kritik soha deb K1, K>k₂ tengsizliklar bilan aniqlanadigan kritik sohaga aytiladi, bu yerda k₂>k₁

Xususan, kritik nuqtalar nolga nisbatan simmetrik boʻlsa, u xolda ikki tomonlama kritik soha ( k>0 degan farazda)

K<-k_kr, K>k_kr

tengsizliklar yoki unga teng kuchli |K|>k tengsizlik bilan aniqlanadi (23-c rasm).
5-§. Oʻng tomonlama kritik sohani topish
Kritik sohani qanday topish kerak? Bu masalaga asosli javob berish ancha murakkab nazariyani jalb qilishni talab etiladi. Biz uning elementlari bilan cheklanamiz. Aniqlik uchun

K>k_kr

(bu yerda k_kr>0) tengsizlik bilan aniqlanadigan o’ng tomonlama kritik sohani topishdan boshlaymiz.

Koʻrib turibmizki, oʻng tomonlama kritik sohani topish uchun kritik nuqtani topish kifoya. Demek, yangi savol yuzaga keladi: bu nuqtani qanday topish mumkin?

Shu maqsadda ancha kichik ehtimol - qiymatdorlik darajasi α tanlanadi. Soʻngra k_k kritik nuqtani bunday talabga asoslanib izlanadi: nolinchi gipoteza oʻrinli boʻlishi shartida k_kr kriteriyning k dan katta qiymat qabul qilish extimoli qabul qilingan qiymatdorlik darajasiga teng bo’lsin:

P(K >k_kr)=α (*)

Har bir kriteriy uchun tegishli jadvallar tuzilgan boʻlib, ular boʻyicha yuqoridagi talablarni qanoatlantiradigan kritik nuqta topiladi.

1-eslatma. Kritik nuqta topilgandan soʻng, tanlanmalardagi maʼlumotlar boʻyicha kriteriyning kuzatilgan qiymati topiladi, va agar K_kuzat,>k_kr boʻlsa, u xolda nolinchi gipoteza rad qilinadi; agar K_kuzat,kr boʻladigan boʻlsa u holda rad qilishga asos yoʻq.

Tushuntirish. Oʻng tomonlama kritik soha nima uchun nolinchi gipoteza oʻrinli boʻlganda munosabat bajarilsin degan talabga asoslanib topiladi? K_,>k_kr xodisaning ehtimoli kichik boʻlgani uchun (α- kichik extimol edi) bunday hodisa nolinchi gipoteza oʻrinli boʻlganda kichik ehtimolli hodisalarning amalda mumkinmasligi prinsipiga asosan yagona sinashda roʻy bermasligi kerak (II bob, 4-§). Shunga qaramasdan, u roʻy bersa, yaʼni kriteriyning kuzatilayotgan qiymati k_krdan katta boʻlsa, u holda buni shu bilan tushuntirish mumkin: nolinchi gipoteza yolg’on (notoʻgʻri), binobarin, u rad qilinishi lozim. Shunday qilib, (*) talab kriteriyning shunday qiymatlarini aniqlaydiki, bu qiymatlarda nolinchi gipoteza rad qilinadi, ana shu qiymatlar oʻng tomonlama kritik sohani tashkil qiladi.

2- eslatma. Kriteriyning kuzatilayotgan qiymati k_kr dan nolinchi gipoteza notoʻgʻri boʻlgani uchun emas, balki boshqa sabablarga koʻra (tanlanma hajmining kichikligi, eksperiment metodikasining kamchilik lari va h.k.) katta boʻlib qolishi mumkin. Bu holda nolinchi gipotezani rad qilib, birinchi tur xatoga yoʻl qoʻyiladi. Bundan xatoning ehtimoli a qiymatdorlik darajasiga teng. Shunday qilib, (*) talabdan foydalanishda, biz α ehtimol bilan birinchi tur xatoga yoʻl qoʻyish xavfiga egamiz.

Bu oʻrinda shuni qayd qilib oʻtamizki, maxsulot sifatini kontrol qilishga doir kitoblarda yaroqli buyumlarni yaroqsiz deb tan olish ehtimoli ishlab chiqaruvchining tavakkalni, yaroqsiz partiyani qilish ehtimoli esa isteʼmolchining tavakkali deyiladi.

3-eslatma. Aytaylik, nolinchi gipoteza qabul qilingan boʻlsin. Shu bilan u isbotlandi deb oʻylash xato boʻladi. Haqiqatan ham, maʼlumki, bir umumiy taxminni tasdiqlaydigan bitta misol xali uni isbotlamaydi. Shu sababli bunday deyish toʻgʻriroq boʻladi: “kuzatish maʼlumotlari nolinchi gipotezaga muvofiq keladi va demak, uni rad qilishga asos boʻla olmaydi”.

Praktikada gipotezani katta ishonch bilan qabul qilish uchun boshqa usullar bilan tekshiriladi yoki tanlanma xajmini orttirib, aks periment takrorlanadi.

Gipotezani qabul qilishdan koʻra koʻproq rad etishga xarakat qilinadi. Haqiqatan, maʼlumki biror umumiy qilish uchun bu daʼvoga zid boʻlgan bitta misol keltirish kifoya. Agar kriteriyning kuzatilayotgan qiymati kritik sohaga tegishli boʻlsa, u holda shu faktning oʻzi nolinchi gipotezaga zid boʻlgan misoldir, demak, bu misol gipotezani rad qilishga imkon beradi.
6-§. Chap tomonlama va ikki tomonlama kritik sohalarni izlash
Chap tomonlama yoki ikki tomonlama kritik sohalarni izlash (oʻng tomonlama soha uchun boʻlgani kabi) tegishli kritik nuqtalarni topishga keltiriladi.

Chap tomonlama kritik soha Kkr (k_kr<0) tengsizlik bilan aniqlanadi (4-§).

Kritik nuqta quyidagi talabga asoslanib topiladi: nolinchi gipoteza oʻrinli boʻlganda kriteriyning k_kr dan kichik qiymat qabul qilish ehtimoli qabul qilingan qiymatdorlik darajasiga teng boʻlsin:

P(K_kr)=α

Ikki tomonlama kritik soha K1, K>k₂, tengsizliklar bilan aniqlanadi (4-§).

Kritik nuqtalar quyidagi talabga asoslanib topiladi: nolinchi gipoteza oʻrinli boʻlganda kriteriyning k₁ dan kichik yoki k₂ dan katta qiymat qabul qilish ehtimollari yigʻindisi qabul qilingan qiymatdorlik darajasiga teng boʻlsin:

P(K₁)+P(K>k₂)=α (*)

Ravshanki, kritik nuqtalar son-sanoqsiz usullar bilan topilishi mumkin. Agar kriteriyning taqsimoti nolga nisbatan simmetrik va nolga nisbatan va k_kr ( k_kr>0) nuqtalarni (masalan, quvvatni oshirish uchun) tanlash uchun asos boʻlsa, u holda

P(K<-k_kr)=P(K>k_kr).

(*) ni eʼtiborga olib,

P(K>k_kr)=

ni hosil qilamiz. Bu munosabat ikki tomonlama kritik soxaning kritik nuqtalarini topish uchun xizmat qiladi. Yuqorida aytib oʻtilganidek (5-§), kritik nuqtalar tegishli jadvallar boʻyicha topiladi.

7. 
   §. Kritik sohani tanlash haqida qoʻshimcha maʼlumotlar.
   

Kriteriy quvvati
Biz kritik sohani nolinchi gipoteza oʻrinli boʻlish shartida kriteriyning shu sohaga tushish ehtimoli α teng boʻlsin degan talabga asoslanib tuzdik. Lekin kriteriyning kritik sohaga tushish ehtimolini nolinchi gipoteza notoʻgʻri, va demak, unga konkurent gipoteza oʻrinli shartida kiritish maqsadga muvofik ekan.

Kriteriyning quvvati deb konkurent gipoteza oʻrinli boʻlish shartida kriteriyning kritik sohaga tushish ehtimoliga aytiladi. Boshqacha soʻz bilan aytganda, kriteriy quvvati, bu - agar konkurent gipoteza oʻrinli boʻlsa - nolinchi gipotezaning rad qilinish ehtimolidir.

Aytaylik, gipotezani tekshirish uchun tayin qiymatdorlik darajasi qabul qilingan va tanlanma tayin xajmga ega boʻlsin. Endi kritik sohani tanlash bizning ixtiyorimizda boʻladi. Uni kriternining quvvati maksimal boʻladigan qilib tanlash maqsadga muvofik boʻlishini koʻrsatamiz.

Dastavval, agar ikkinchi turdagi xato (notoʻgʻri gipotezaning qabul qilinish) ehtimoli β ga teng boʻlsa, u holda quvvat 1-β ga tengligiga ishonch hosil qilamiz. Darhaqikat, agar β ikkinchi tur xatoning, yaʼni «nolinchi gipoteza