13-ma’ruza Yuqori tartibli differensial tenglamalar (umumiy tushunchalar). Yuqori tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar. Umumiy yechimning tuzilishi haqidagi teorema

 
 
Ta’rif 4. 
Agar 
x
ning 
[ , ]
a b
kesmadagi 
barcha 
qiymatlarida 
1 1
2
2
1
1
( )
( )
( )
( )
n
n
n
x
A
x
A
x
A
x




−
−
=
+
+
+
tenglik o’rinli bo’lsa, bu yerda
1
2
1
,
,
,
n
A A
A
−
lar bir vaqtda nol bo’lmaydigan o’zgarmas sonlar, u holda 
( )
n
x

funksiya 
1
2
1
( ),
( ),
,
( )
n
x
x
x



−
funksiyalar orqali chiziqli ifodalanadi
deyiladi. 
 
Ta’rif 5
. Agar 
n
ta 
1
2
1
( ),
( ),
,
( ),
( )
n
n
x
x
x
x




−
funksiyalarning hech birini 
qolganlari orqali chiziqli ifodalab bo’lmasa, u holda bu funksiyalar 
chiziqli bog’liq 
bo’lmagan funksiyalar
deb ataladi. 

---

Eslatma.
Yuqoridagi 
ta’riflardan 
kelib 
chiqadiki, 
agar
1
2
1
( ),
( ),
,
( ),
( )
n
n
x
x
x
x




−
funksiyalar 
chiziqli bog’liq bo’lsalar
, u holda bir 
vaqtda nol bo’lmaydigan shunday 
1
2
,
,
,
n
C C
C
o’zgarmas sonlar topiladiki, 
x
ning 
[ , ]
a b
kesmadagi barcha qiymatlarida 
1 1
2
2
( )
( )
( )
0
n
n
C
x
C
x
C
x



+
+
+

ayniyat 
o’rinli bo’ladi. 
1-misol.
1. 
2
1
2
3
,
,
3
x
x
x
y
e
y
e
y
e
=
=
=
funksiyalar chiziqli bo’gliq, chunki 
1
2
3
1
1,
0,
3
C
C
C
=
=
= −
bo’lganda 
2
1
2
3
3
0
x
x
x
C e
C e
C
e
+
+


ayniyat o’rinli bo’ladi. 
2. 
2
1
2
3
1,
,
y
y
x y
x
=
=
=
funksiyalar 
chiziqli 
bog’liq emas, chunki
2
1
2
3
1
0
C
C x
C x
 +
+

ayniyat faqat 
1
2
3
0,
0,
0
C
C
C
=
=
=
bo’lgandagina o’rinli 
bo’ladi. 
3. 
1
2
1
2
,
,
,
,
n
k x
k x
k x
n
y
e
y
e
y
e
=
=
=
funksiyalar chiziqli bo’gliq emas, bu yerda 
1
2
,
,
,
,
n
k k
k
−
turli sonlar. 
Endi (1) tenglamani yechimiga o’tamiz. Bu tenglama uchun quyidagi teorema 
o’rinli bo’ladi. 
6-teorema.
Agar 
1
2
,
,
,
n
y y
y
funksiyalar (1) tenglamaning chiziqli bo’gliq 
bo’lmagan yechimlari bo’lsa, u holda uning umumiy yechimi 
1 1
2
2
n
n
y
C y
C y
C y
=
+
+
+
(2) 
ko’rinishda bo’ladi, bu yerda 
1
2
,
,
,
n
C C
C
ixtiyoriy o’zgarmas sonlar. 
Agar (1) tenglamaning koefisentlari o’zgarmas sonlar bo’lsa, u holda umumiy 
yechimi ikkinchi tartibli tenglama holidagidek yechiladi. 
1) Xarakteristik tenglama tuzamiz 
1
1
1
...
0
n
n
n
n
k
a k
a k
a
−
−
+
+ +
+
=
2) Xarakteristik tenglamaning 
1
2
,
,
,
n
k k
k
ildizlarini topamiz. 
3) Ildizlarining xarakteriga qarab, chiziqli bo’gliq bo’lmagan hususiy 
yechimlarini topamiz. Bunda quyidagilarga amal qilamiz: 
a) bir karrali har bir haqiqiy 
k
ildizga 
kx
e
hususiy yechim mos keladi; 

---

b) har bir juft 
(1)
k
i


= +
va 
(2)
k
i


= −
qo’shma kompleks bir karrali 
ildizlarga ikkita
cos
x
e
x


va 
sin
x
e
x


hususiy yechimlar mos keladi; 
c) har bir 
r
karrali haqiqiy 
k
ildizga 
r
ta chiziqli bo’gliq bo’lmagan 
1
,
,
,
kx
kx
r
kx
e
xe
x e
−
hususiy yechimlar mos keladi; 
d) har bir 

karrali 
(1)
(2)
,
k
i
k
i




= +
= −
qo’shma kompleks ildizlar 
juftiga 2

ta 
1
cos
,
cos
,
,
cos
,
x
x
x
e
x x e
x
x
e
x







−
1
sin
,
sin
,
,
sin
x
x
x
e
x x e
x
x
e
x







−
hususiy yechimlar to’gri keladi. 
Bu hususiy yechimlarning soni xarakteristik tenglamaning darajasiga (ya’ni 
berilgan chiziqli differensial tenglamaning tartibiga ) teng bo’ladi. Bu yechimlar 
chiziqli bo’gliq bo’lmasligini ko’rsatish mumkin. 
 
4) 
n
ta chiziqli bo’gliq bo’lmagan 
1
2
,
,
,
n
y y
y
hususiy yechimlarni topib, 
berilgan chiziqli tenglamaning umumiy yechimini yozamiz 
1 1
2
2
,
n
n
y
C y
C y
C y
=
+
+
+
bu yerda 
1
2
,
,
,
n
C C
C
ixtiyoriy o’zgarmas sonlar. 
2-misol.
Ushbu
0
iv
y
y
− =
differensial tenglamaning umumiy yechimi topilsin. 
Xarakteristik tenglamani yozamiz
4
1 0
k
− =
va uning ildizlarini topamiz: 
1
2
3
4
1,
1,
,
.
k
k
k
i k
i
=
= −
=
= −
Tenglamaning umumiy yechimini yozamiz
1
2
3
4
cos
sin ,
x
x
y
C e
C e
C
x
C
x
−
=
+
+
+
 
bu yerda 
1
2
3
4
,
,
,
C C C C
−
ixtiyoriy o’zgarmas sonlar.