12-ma’ruza. Chiziqli bir jinsli differentsial tenglamalar. Oʼzgarmas koeffitsientli yuqori tartibli bir jinsli tenglamalar

Ixtiyoriy o’zgarmasni variatsiyalash usuli

(2) tenglamaning umumiy yechimini yozamiz:

у=С₁у­₁+С₂у₂ (3)

С₁ vаС₂ ni х ning hozircha noma’lum funktsiyalari hisoblab, (1) tenglamaning xususiy yechimini (3) ko’rinishda izlaymiz.

(3) ni differentsiallaymiz:

y'=C₁y₁'+C₂y₂'+C₁'y₁=c₂'y₂

C₁ vа С₂ funktsiyalarni

С₁'y₁+C₂'y₂=0 (4)

tenglik bajariladigan qilib tanlab olamiz. u holda y'=C₁y₁'+C₂y₂' (5) ko’rinishda bo’ladi. Bundan y''=C₁y₁''+C₂y₂''+C₁'y₁'+C₂'y₂'. y,y' ва y'' larni (1) tenglamaga qo’yib –С₁y₁''+C₂y₂'+C₁'y₁'+C₂'y₂'+a₁(C₁y₁'+C₂y₂')+a₂(C₁y₁+C₂y₂)= (x)

yoki

С₁(y₁''+а₁y₁'+a₂y₁)+C₂(y₂''+a₁y₂'+a₂y₂)+C₁'y₁'+C₂'y₂'= (x) tenglikni hosil qilamiz

Birinchi ikkita qavs ichida turgagilar nolga aylanadi, chunki у₁ vа у₂ (2) tenglamaning yechimlari. Demak,

C₁'y₁'+C₂'y₂'= (x) (6)

Shunday qilib, С₁ vва С₂ funktsiyalar (4) vа (6) shartlarni qanoatlantirsa, (3), (1) ning umumiy yechimi bo’ladi

(7)

c₁'=₁(x), c₂'=₂(x), larni (7) gа quyib topamiz vа c₁=₁(x)dx+ , c₂=₂(x)dx+ bu yerda vа integrallash o’zgarmasdirlar.