12-Маъруза Чизиқли электр занжирларидаги ўтиш жараёнларини

Маълум тасвир бўйича оригинални аниқлаш

Ахтарилаётган ток ёки кучланишнинг тасвири олингандан сўнг, оператор усулнинг тескари масаласи - маълум тасвир бўйича оригинални топиш зарур бўлади. (4.70) интегралини ечиш кўп ҳолларда анча мураккабдир. Шу сабабли, Лапласнинг тескари интеграл ўзгартиришидан бевосита фойдаланиш мақсадга мувофиқ бўлмай қолади ва занжирлар назариясида бошқа йўллар билан борилади.

Тасвирдан оригиналга ўтишнинг биринчи йўли яққол кўриниб турибди. Бу оригиналдан [f(t) функция] тасвирга [F(р) функция] ўтиш жадвалларидан тескари йўналишда фойдаланшдир. Аммо жуда кам ҳолларда бу жадваллардан ўтиш жараёнини таҳлил қилиш вақтида олинган ток I(р) ёки U(р) кучланишга аниқ тўғри келадиган F(р) функцияни топиш мумкин. Агар исталаётган ўзгарувчининг топилган тасвири жадвалдагидан озгина фарқ қиладиган бўлса, қўшимча алгебраик ўзгартиришлар ўтказиб олинган тасвирни жадвалдаги кўринишга келтириш керак. Бунда топилган мураккаб тасвирни кўпинча ҳар бири жадвал кўринишида бўлган яна ҳам оддийроқ тасвирларнинг йиғиндиси сифатида тасаввур қилинади.
4.5-мисол. Ўтиш жараёнини ҳисоблаш натижасида асосий ўзгарувчининг қуйидаги оператор тасвири олинган:





f(t) оригинални топинг.
Ечиш. 4.1-жадвалда (4 қатор)

Берилган F(р) ифодани жадвал кўринишига келтириш учун сурат ва махражни 10 га кўпайтирамиз. Унда

ва квадрат қавслар ичидаги ифода жадвал кўринишига аниқ тўғри келади, яъни:

Тасвирдан оригиналга ўтишнинг иккинчи йўли махсус аналитик ўзгартириш—оригинални рационал касрларга тарқатишга асосланади.
Йиғиқ параметрли ҳар қандай чизиқли электр занжиридаги ўтиш жараёнларини таҳлил қилишда исталаётган ўзгарувчининг F(р) тасвири ҳар вақт тўғри каср шаклида бўлади:

бу ерда m. Шу сабабли бизнинг ҳолда f(t)=F(р) хусусий масала – каср функциядан оригинални топишга олиб келади. F(р) функция билан қандай ўзгартиришлар қилишни аниқлашдан олдин f(t) функциянинг қандай кўринишда бўлишини кўрайлик. У ёки ўзгармас катталик, ёки битта такрорликнинг гармоник функцияси, ёки ҳар хил такрорликларнинг гармоник функциялари ва ўзгармас катталик йиғиндиси бўлиши мумкин. Эркин ташкил қилувчи ёки экспонента, ёки гармоник функция бўлиши мумкин. Бироқ ўзгармас катталик ва гармоник функция экспонентанинг хусусий ҳолларидир. Ҳақиқатдан ҳам, агар f(t)=Me^рt бўлса, унда у «р» ҳақиқий сонлигида экспонента, р=0 лигида ўзгармас катталик, «р» комплекс катталиклигида эса гармоник функция бўлади.

Экспонентанинг оператор (Лаплас бўйича) тасвири

бўлганлиги сабабли F(р) касрни

кўринишдаги оддий касрларга ёйиш керак. Бу ёйиш теоремаси ёрдамида амалга оширилади.

бўлсин, бу ерда ва лар «р» га нисбатан полиномлар, лар эса махражнинг илдизлари. Улар

тенгламадан топилади.
Аввал махражнинг ҳамма илдизлари оддий ва улардан бирортаси ҳам нолга тенг эмас деб фараз қиламиз. У ҳолда F(р) ни


(4.84)

шундай касрларнинг йиғиндиси сифатида тасаввур қилиш мумкин. Бу ерда - аниқланиши лозим бўлган коэффициентлар.

Бунинг учун (4.84) нинг ўнг ва чап қисмларини (р–р_k) га кўпайтирамиз:

Охирги муносабат универсал характерга эга бўлганлиги сабабли у «р» нинг ҳар қандай қийматларига, шу жумладан (р–р_k) учун ҳам кучга эга. Агар (р–р_k) қилиб тенгламага қўйсак, унинг ўнг қисмида A_k ни, чап қисмида эса 0/0 шаклидаги ноаниқликни оламиз, чунки р_k F₂(р)=0 тенгламанинг илдизидир. Бу ноаниқликни Лопитал қоидаси бўйича очамиз:

яъни F(р) каср функцияни оддий касрларга ёйишдаги коэффициентлар қуйидаги кўринишни оладилар:

.

Демак, ҳамма каср функция учун

га эга бўламиз.
Энди F(р) функциянинг оригиналини анча осон топишимиз мумкин:


(4.85)

Бу ёйиш теоремаси ёки формуласидир. Унинг қўлланилишида учрайдиган асосий қийинчилик даражаси характеристик тенгламанинг даражасига тенг бўлган F₂(р) тенгламанинг илдизларини топишдадир.

Агар F₂(р)=0 тенглама илдизлари орасида нолга тенг бўлган илдиз бўлса, яъни бўлса, у ҳолда ёйиш формуласига бошқача кўриниш берилади:



Демак,
(4.86)
бу ерда - нинг турғун қиймати.
Оригинални ёйиш теоремаси бўйича ҳисоблаш қуйидаги кетма-кетликда ўтказилади.
1. F₂(р) ни нолга тенглаб, илдизлари аниқланади.
2. F₁(р) нинг сурати илдизлар учун ҳисобланади.
3. F₂(р) махражнинг ҳосиласи ҳисобланади ва унга навбати билан илдизлар қўйилади.
4. Алоҳида хадларни ҳисоблаб ва уларни қўшиб, ёйиш формуласи ёрдамида исталаётган f(t) функция топилади.