12 §. Teskari matritsa va determinantninq qo‘shimcha xossalari

12 - §. Teskari matritsa va determinantninq qo‘shimcha xossalari
Ushbu paragrafda biz -tartibli matritsaning determinanti bilan bog‘liq masalalar bilan shug‘ullanamiz.

12.1-ta’rif. Determinanti nolga teng bo‘lgan matritsa xos matritsa, noldan farqli bo‘lgan matritsa esa xosmas matritsa deyiladi.

Bizga va -tartibli kvadrat matritsalar berilgan bo‘lsin. Ma’lumki, ushbu matritsalar ko‘paytmasi ham -tartibli kvadrat matritsa bo‘ladi.

12.2-teorema. Ixtiyoriy va kvadrat matritsalar uchun

tenglik o‘rinli, ya’ni matritsalarning ko‘paytmasining determinanti determinantlarning ko‘paytmasiga teng.

Isbot. Aytaylik, va bo‘lib, ularning ko‘paytmasi bo‘lsin. va matritsalar yordamida quyidagi -tartibli determinantni tuzib olamiz:

Laplas teoremasiga ko‘ra

. (12.1)

Ikkinchi tomondan determinantni determinant xossalaridan foydalanib hisoblaymiz. Buning uchun determinantni ustunlarini mos ravishda larga ko‘paytirib, -ustu-niga qo‘shamiz, so‘ngra larga ko‘paytirib, -us-tuniga qo‘shamiz va hokazo, larga ko‘paytirib, -us-tuniga qo‘shamiz. Natijada, determinantning elementlari turgan elementlar nolga aylanadi. Yuqori o‘ng burchagida turgan nollar o‘rniga esa

elementlar joylashib, bu element ko‘paytmaning aynan elementlaridan iboratdir. Demak, determinant quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:

Laplas teoremasini yana bir bor qo‘llab, determinantni uning oxirgi ta ustuni bo‘yicha yoyamiz. minor uchun to‘ldiruvchi minori bo‘lib, uning qiymati ga teng. minor satrlarda va ustunlarda joylashganligi sababli

bo‘ladi. Demak,

.

Bundan esa kelib chiqadi, ya’ni .



Ushbu teorema bir nechta matritsalarning ko‘paytmalari uchun ham o‘rinlidir, ya’ni

bu yerda

12.2.-teoremadan xos va xosmas matritsalar uchun quyidagi xossalar kelib chiqadi.

12.3-xossa. a) Xos matritsalar ko‘paytmasi ham xosdir;

b) Xosmas matritsalar ko‘paytmasi ham xosmasdir;

c) Agar matritsalar ko‘paytmasida biror ko‘paytuvchisi xos matritsa bo‘lsa, u holda ko‘paytma ham xosdir.

Biz 8-mavzuda berilgan kvadrat matritsaning teskarisi tushunchasini kiritgan edik. Endi teskari matritsani topish usulini keltiramiz.

12.4-teorema. matritsa teskarilanuvchi bo‘lishi uchun uning xosmas bo‘lishi zarur va yetarli.

Isbot. Zaruriyligi. matritsa teskarilanuvchi bo‘lsin, u holda teskari matritsa mavjud va

12.2-teoremaga ko‘ra,

Ushbu tenglikdan kelib chiqadi.

Yetarliligi. matritsa xosmas bo‘lsin. matritsaning barcha elementlari algebraik to‘ldiruvchilardan -tartibli

(12.2)

matritsani tuzib olamiz. matritsaga matritsaning biriktirilgan matritsasi deyiladi. Endi va ko‘paytmalarni topamiz.

Ravshanki,

(12.3)

bo‘ladi, bu yerda

Haqiqatan ham, matritsani -satrini matritsaning -ustu-nining mos elementlariga ko‘paytirib qo‘shsak, matritsaning -satr va -ustunida



_element hosil bo‘ladi.

Xuddi shunday matritsaning -satrini matritsaning -ustu-niga mos ravishda ko‘paytirib qo‘shishdan hosil bo‘lgan quyidagi element:

nolga teng bo‘ladi.

ko‘paytmani ham yuqoridagi kabi hisoblash mumkin.

matritsa xosmas matritsa bo‘lganligi uchun quyidagi ko‘paytmani qaraymiz.

Demak, matritsaga teskari matritsa

bo‘ladi. 

Teskari matritsa qiyudagi sodda xossalarga ega

12.5-xossa. a) ;

b) ;

c) ;

d)

Misol 12.1. matritsaning teskarisini toping.

Bu matritsaning determinanti ekanligini hisoblash qiyin emas. Demak, xosmas matritsa bo‘lib, uning teskarisi mavjud. ning algebraik to‘ldiruvchilari

Demak, biriktirilgan matritsa

bo‘lib, teskari matritsa esa bo‘ladi.