11. Mavzu: Ikkinchi tartibli egri chiziqlar Reja

Mustaqil echish uchun mashqlar.

1. 
   а) markazi (2;-3) nuqtada va radiusi 4 ga teng, b) markazi (-2;3) nuqtada va (1;-1) nuqtadan o’tuvchi; d) diametri АВ kesmadan iborat, bunda А(3;9) va В(7;3) aylaning kanonik tenglamasi yezilsin va aylana chizilsin.
   

Javob: а) (х-2)²+(у+3)²=4²; b) (х+2)²+(у-3)²=5²; d) (х-5)²+(у-6)²=13

2. 
   А(9;3), В(-3;3) va С(11;1) nuqtalardan o’tuvchi aylananing kanonik tenglamasi yozilsin.
   

Ko’rsatma. Aylananing kanonik tenglamasiga х va у o’rniga berilgan nuqtalarni koordinatalarini qo’yib a, b va R ni aniqlash uchun uchta tenglamalar sistemasi hosil qilinadi.

3. 
   Ikkinchi darajali Ах²+Вху+Су² +Dх+Еу+F=0 algebraik tenglama markazi 0₁(4;3) nuqtada, radiusi 6 ga teng aylanani ifodalashi uchun uning koeffitsientlari qanaqa qiymatlarni qabul qilishi kerak? Javob: А=С=1, В=0, D= -8, Е=6, F=-11
   
4. 
   а) х²+у²-4х+6у-3=0; b) х²+у²-6х+5=0; d) х²+у²-4у=0
   

umumiy tenglamalari yordamida berilgan aylananing markazi va radiusi topilsin.
Javob: а) 0₁(2,-3), R=4; b) 0₁(3, 0), R=2, d) 0₁(0;2), R=2.
5. 0х o’qqа urinib 0у o’q bilan В(0;6) nuqtada kesishuvchi aylananing tenglamasi yozilsin. Javob: х²+(у-3)²=9.
6.Koordinatalar boshidan а birlik uzoqlikda koordinata o’qlariga urinadigan aylananing tenglamasi yozilsin.
Javob: (х-а)²+(у-а)²=а²; (х+а)²+(у-а)²=а²; (х-а)²+(у+а)²=а²; (х+а)²+(у+а)²=а².
7.Ellipsning kanonik tenglamasi yozilsin va ellips chizilsin.
а) yarim o’qlari mos ravishda 6 va 4 ga teng;
b) fokuslari orasidagi masofa 8 va katta yarim o’qi 5 ga teng;
d) katta yarim o’qi 10 ga va ekssentrisiteti 0,6 ga teng;
e) kichik yarim o’qi 6 ga va ekssentrisiteti 0,8 ga teng;
f) ekssentrisiteti 0,8 ga va fokuslari orasidagi masofa 8 ga teng.
Javob: а) ; b) ; d) ; e) ; f) .
8. Ellipsning tenglamasi va М(3;у) nuqtasi berilgan. Shu nuqtasining ordinatasi y topilsin. Javob: у= .

9. 
   М(4;0) va N (2;3) nuqtalardan o’tuvchi ellipsning kanonik tenglamasi yozilsin. Javob: .
   
10. 
    х²+у²=25 aylananing barcha nuqtalarini ordinatalarini 5 barobar kichraytirish natijasida hosil bo’lgan egri chiziq tenglamasi yozilsin, turi aniqlansin va egri chiziq chizilsin. Javob: ) -ellips.
    
11. 
    Giperbolaning kanonik tenglamasi tuzilsin va giperbola chizilsin.
    

а) yarim o’qlari mos ravishda 5 va 4 ga teng;
b) fokuslari orasidagi masofa 14 ga, uchlari orasidagi masofa 12 ga teng;
d) haqiqiy yarim o’qi 5 ga va ekssentrisiteti 1,4 ga teng;
e) fokuslari orasida masofa 16 ga va ekssentrisiteti 4/3 ga teng;
f) haqiqiy yarim o’qi ga teng va А(5;-2) nuqtadan o’tuvchi;
g) va ) nuqtalardan o’tuvchi.
Javob: а) ; b) ; d) ; e) ;
f) ; g)

12. 
    а) 25х²-144у²=3600, b) 16у²-9х²=144, d) 4х²-у²-16=0 tenglamalari yordamida berilgan giperbolalarning a,b–yarim o’qlari, -ekssentrisiteti va F₁, F₂ fokuslari topilsin. Javob: а) а=12, b=5, , F₁(-13,0), F₂(13,0) b)а=3, b=4, , F₁(0,-5), F₂(0,5) d) а=2, b=4, с= , F₁(- ,0), F₂( ,0)
    

13. giperbolaning asimptotalarini tenglamalari yozilsin.
Javob: va .
14. 1 kg yog’ olish uchun kerakli sut miqdori formula yordamida aniqlanishi ma‘lum bo’lsa (x-sutdagi yog’ foizi) 20 litr sutdan 1 kg yog’ olinishi uchun sutdagi yog’ foizi qanday bo’lishi kerak? Javob: х=4,4%.
15. Fokuslarni orasidagi masofa 5 va asimptotalari va tenglamalarga ega giperbolaning kanonik tenglamasi yozilsin. Javob: .
16. Ekssentrisiteti 2 ga teng giperbolaning asimptotalari orasidagi burchak topilsin. Javob: 60⁰.
17. х²-у²=8 tengtomonli giperbola berilgan. Fokuslari shu giperbolaning fokuslarida bo’lib A(4;6) nuqtadan o’tuvchi ellipsning kanonik tenglamasi topilsin. Javob:
18. Parabolaning kanonik tenglamasi yozilsin.
а) simmetriya o’qi 0x o’qdan iborat, uchi koordinatalar boshida joylashgan va fokusi uchidan 6 birlik uzoqlikda yotgan,
b) uchi koordinatalar boshida joylashgan, (2,-4) nuqtadan o’tuvchi va 0x o’qqa nisbatan simmetrik,
d) uchi koordinatalar boshida yotgan, fokusi F(0,3) nuqtada bo’lgan 0y o’qqa nisbatan simmetrik,
e) fokusi F(3,0) nuqtada, direktrisasi 0y o’qdan, simmetriya o’qi 0x o’qdan iborat. Javob: а) у²=24х va у²=-24х, b) у²=8х, d) х²=12у, e) у²=6х-9.
19. у²=2рх parabola А(2,4) nuqtadan o’tca uning parametrini toping. Javob: p=4.
20. Yo’ng’ichqaning o’rtacha hosildorligi y (sentner) bilan uning sug’orish chuqurligi x(sm) orasidagi bog’lanish у=0,0028х²+0,253х+3,520 formula yordamida ifodalanishi ma‘lum bo’lsa, х [0; 30] oraliqda o’zgaradi deb x ning qanday qiymatida hosildorlik eng ko’p bo’lishini aniqlang? Javob: х=30.
21. Egri chiziqlar chizilsin:
а) х²+4х+4у²=0, b) 2х²-8х+у²-6х+1=0, d) х²-8х-4у²=0, e) у²-6у-х²+2х=0.
22. Koordinata o’qlarini 45⁰ ga burish natijasida tengtomonli х²-у²=а² giperbolaning tenglamasi 0XY yangi sistemaga nisbatan qanaqa ko’rinishga ega bo’ladi. Javob: ХУ=- .
23. у=4х²-8х+5 tenglama koordinatalarni almashtirib kanonik ko’rinishga keltirilsin. Javob: У=4Х.
24. а) 4х²+9у²+32х-54у+109=0, в) 4х²-25у²-24х+50у-89=0. tenglama soddalashtirilib egri chiziqning turi aniqlansin. Javob: а) markazi 0₁(-4;3) nuqtada, yarim o’qlari 3 va 2 bo’lgan ellips; b) markazi 0₁(3,1) nuqtada, haqiqiy yarim o’qi 5 ga va mavhum yarim o’qi 2 ga teng bo’lgan giperbola.
25. ellipsning eng sodda qutb tenglamasi topilsin. Javob: .