11.3. Qattiq jism ilgarilama harakatining differentsial tenglamalari
Kinematikadan ma’lumki, ilgarilama harakatdagi jismning barcha nuqtalari shu jismda olingan ixtiyoriy nuqta bilan bir xil qonun asosida harakatlanadi. SHuning uchun ilgarilama harakatdagi jism biror nuqtasi harakatining differentsial tenglamasi jismning ilgarilama harakati differentsial tenglamasi sifatida qabul qilinadi. Bunday nuqtasifatida odatda jismning massalar markazi olinadi.
Jismning massasi massalar markazining radius- vektori , har bir nuqtasiga quyilgan tashqi kuchlarning teng ta’sir etuvchisi bo’lsin. U holda massalar markazining harakati tenglamasiga ko’ra jism ilgarilama harakatining differentsial tenglamasi quyidagicha bo’ladi:
(11.7)
(11.1) ni koordinata o’qlariga proektsiyalab, jism ilgarilama harakati differentsial tenglamalarining skalyar ko’rinishda ifodalanishini hosil qilamiz:
(11.8)
Bunda jism massalar markazining koordinatalari. (11.7) tenglamalarni integrallash nuqta harakatining differentsial tenglamalarini integrallash kabi bajariladi.
SHuni ta’kidlash zarurki, tashqi kuchlar teng ta’sir etuvchiga keltirilishi mumkin bo’lgan holdagina jism bu kuchlarta’sirida ilgarilama harakat qila oladi.
11.4. Qattiq jismning qo’zg’almas o’q atrofida aylanma harakatining differentsial tenglamasi
Biror o’q atrofida aylanuvchi jism berilgan (11.2. rasm). O’q nuqtada sferik sharnir, nuqtada esa podshipnik yordamida mahkamlangan. va nuqtalarda hosil buladigan reaktsiyalarni mos ravishda va orqali belgilaylik.
reaktsiya fazoda ixtiyoriy yo’nalishni egallashi mumkin.
reaktsiya esa aylanish o’qiga tik bo’lgan tekislikda yotadi.
Jismga ta’sir qiluvchi tashqi kuchlarning bosh vektorini orqali, ularning O nuqtaga nisbatan bosh momentini esa bilan belgilaymiz. Jism harakatini harakat miqdori va xarakat miqdori momenti haqidagi teoremalarni ifodalovchi tenglamalar to’liq belgilaydi. Bu tenglamalar quyidagicha yoziladi:
(11.9)
Bunda jismning harakat miqdori vektori , esa jismning nuqtaga nisbatan kinetik momentidir. Koordinatalar boshini 0 nuqtada olib koordinatalar sistemasini o’tkazamiz. (11.9) tenglamalarni bu koordinatalar sistemasi o’qlariga proektsiyalaymiz:
(11.9a)
Bu tenglamalarning chap tomonlarini aniqlashga kirishamiz. Ma’lumki, . Bunda jismning massasi, inertsiya markazining tezligi, jismning aylanma harakatdagi burchak tezligi, inertsiya markazining O nuqtaga nisbatan radius- vektori . U holda:
Bundan quyidagi hosil bo’ladi:
(11.10)
Endi harakat miqdori momenti proektsiyalarining hosilalarini aniqlashga o’tamiz. Ma’lumki mexanik sistemaning biror nuqtaga nisbatan harakat miqdori momenti (11.28) formuladan topiladi. Qattiq jismning koordinatalar boshiga nisbatan harakat miqdori momentini aniqlash uchun jismni p ta mayda bo’lakchalarga bo’lamiz. So’ngra bunday jism uchun (11.28) kabi munosabat tuzib, bu munosabatda bo’lakchalarning massalarini nolga intiltirib limitga o’tamiz. Natijada jismning kinetik momenti uchun
formula hosil qilamiz. Bunda ekanligini va burchak tezlik vektori aylanish o’qi bo’yicha yo’nalib, integralga bog’liq emasligini e’tiborga olib, jism kinetik momentining proektsiyalarini hisoblashning quyidagi formulalariga ega bulamiz:
Bulardan esa
(11.11)
kelib chiqadi. Bu yerda jismning markazdan qochuvchi inertsiya momentlari, esa jismning o’qqa nisbatan inertsiya momentidan iborat. (11.10) va (11.11) tengliklarni (11.9a) ga qo’yamiz:
(11.12)
Boshlang’ich shartlar berilganda (11.12) tenglamalar qattiq jismning aktiv kuchlar ta’siridagi harakatini to’liq aniqlaydi. (11.12) dagi so’nggi tenglamani alohida ko’rib chiqamiz. Uni
(11.13)
ko’rinishda yozish mumkin. Bu tenglamaning o’ng tomoni aktiv kuchlarning aylanish o’qiga nisbatan bosh momentidan iborat. (11.13) tenglama qattiq jismning qo’zg’almas o’q atrofida aylanma harakati differentsial tenglamasi deyiladi.
(11.13) tenglamani qattiq jismning ilgarilama harakati differentsial tenglamasi (11.7) bilan taqqoslab, jismning inertsiya momenti aylanma harakatda inertsiya o’lchovi sifatida namoyon bo’lishini ko’ramiz, ya’ni jismning aylanshi o’qiga nisbatan inertsiya momenti aylanma harakatdagi jismning inertligini belgilaydi. Agar jismning aylanish o’qiga nisbatan inertsiya momenti, jismga quyilgan kuchlarning aylanish o’qiga nisbatan bosh momengi ma’lum yoki uni hisoblash mumkin bo’lsa, (11.13) differentsial tenglamani berilgan boshlang’ich shartlar asosida integrallab, harakatning qonunini topish mumkin.
(11.13) dan ko’ramizki, jism aylanma harakatining tenglamasi bog’lanishlar reaktsiyalarga bog’liq bo’lmay, faqat aktiv kuchlarning o’zigagina bog’liq. Jism harakatining tenglamasi aniqlanganidan so’ng aylanish burchagi orqali ifodalanishi mumkin bo’lib, (11.12) ning qolgan 5 ta tenglamasidan reaktsiya kuchlari aniqlanadi. (11.12) tenglamalardan ko’ramizki, bog’lanishlar reaktsiyalari jismdagi massalar taqsimotiga bog’liq bo’lish bilan bir qatorda, jismning harakatiga, jumladan uning burchak tezligi va burchak tezlanishiga ham bog’liq bo’ladi.
Ma’lumki, bog’lanishlarning reaktsiyalari jismga ta’sir qilsa, bu reaktsiyalarga teng, qarama-qarshi yo’nalgan kuchlar esa bog’lanishlarga ta’sir qiladi. Jism katta tezlik bilan aylanganda bu kuchdar jismga quyilgan aktiv kuchlardan ham kattalashib ketishi mumkin. Aylanma harakat qiluvchi qismi bor qurilmalarda bunday kuchlarning paydo bo’lishi zararli va xavflidir. Katta tezliklarda bu kuchlar bog’lanishlarning sinishiga, turli xil avariyalarning kelib chiqishiga sabab bo’lishi mumkin, Aylanma harakat davomida bunday kuchlarning paydo bo’lmasligi qurilmalarning ravon ishlashini ta’minlaydi. (11.12) tenglamalardan ko’rinadiki, agar aylanish o’qi jismning massalar markazidan o’tsa (bunda ) va bu o’q jism uchun inertsiya bosh o’qlaridan biri bo’lsa (bunda ).
(11.14)
tenglamalar hosil bo’lib, bog’lanishlarning reaktsiyalari jismning harakatiga bog’liq bo’lmaydi. SHu bilan bir qatorda bu reaktsiyalarni (11.14) tenglamalardan bevosita aniqlash mumkin bo’ladi. SHuning uchun aylanuvchi qismlari bor qurilmalar aylanish o’qlari ularning inertsiya markazlaridan o’tadigan va bu o’qlar inertsiya bosh o’qlaridan biri bo’ladigan qilib yasaladi.
