11 laboratoriya ishi Mavzu: Viner optimal filtrini amaliy o‘rganish Ishdan maksad

(9.4) ni e’tiborga olib (9.2) tenglikni quyidagicha ifodalash mumkin:

. (9.5)

Xatolik kvadrati quyidagiga teng bo‘ladi:

(9.6)

(9.6) ifodani statistik o‘rtacha qiymati quyidagicha aniqlanadi:

. (9.7)

Xatolik o‘rtacha statistik qiymati ni aniqlash ifodasi (9.7) tashkil etuvchilarini alohida-alohida ko‘rib chiqamiz:

1. – bu namunaviy signalning o‘rtacha kvadratik qiymati. (9.7) ifodaning alohida tashkil etuvchisi bo‘lib, u filtr koeffitsientlari qiymatlariga bog‘liq emas, shuning uchun uni e’tiborga olmaslik mumkin, ammo u filtr koeffitsientlarining optimal qiymatlarida xatolik o‘rtacha kvadratik qiymatiga ta’sir etadi.
2. – bu namunaviy signal -qiymati va kechiktirish filtri -qadamidagi qiymatlari o‘zaro korrelyatsiyasining vektor ustuni. va – tasodifiy jarayonlarni birgalikda statsionar jarayonlar deb hisoblaymiz, u holda ularning korrelyatsiya vektorlari oniy qiymatlarini olish odimi tartib raqami ga bog‘liq bo‘lmaydi:

. (9.8)

3. – bu o‘lchamli kvadratik matritsa bo‘lib, u signalning korrelyatsiya matritsasi deb ataladi. Statsionar tasodifiy jarayonlar uchun korrelyatsiya matritsasi bo‘lib uning diagonallariga korrelyatsiya funksiya qiymatlari mos keladi:

, (9.9)

bunda, – kirish signali korrelyatsiya funksiyasi.

Kiritilgan belgilanishlarni e’tiborga olib (9.7) formulani quyidagi ko‘rinishga keltirish mumkin:
. (9.10)
(9.10) ifoda ga nisbatan kvadratik shakl bo‘lib, matritsa yagona minimumga ega va funksiya minimum qiymatini topish uchun gradient vektorini nolga tenglashtirish kerak

. (9.11)

Ushbu (9.11) ifodadan Viner-Xopf tenglamasini olamiz:

. (9.12)

(9.12) tenglikning chap qismini teskari korrelyatsiya matritsasi ga ko‘paytirib, optimal filtr uchun kerakli yechimni olamiz,

. (9.13)

(9.13) tenglama bilan ifodalanadigan filtr Viner filtri deb ataladi.

Viner filtrini ifodalovchi (9.13) tenglamaga (9.10) ifodani kiritib xatolik signali dispersiyasining erishishi mumkin bo‘lgan minimal qiymati aniqlanadi:

. (9.14)

va ekanligi, Viner filtri chiqishidagi xatolik signali uning chiqishidagi va kirishidagi signallar bilan korrelyatsiyalangan emas, ya’ni ular bir-biriga bog‘liq emasligini bildiradi.
Uzatilgan signalni qayta tiklash, albatta filtrdan o‘tishda signalni ma’lum bir vaqtga kechikishiga sabab bo‘ladi, shuning uchun namunaviy signal uzatilayotgan signalning kechikkan nusxasi bo‘lishi kerak,

. (9.15)

Filtr kechiktirish liniyasining chi odimiga mos chiqishlarida buzilgan signalning , , , ..., tartib raqamli oniy qiymatlari mos keladi, bunda – filtrning tartibi. Ushbu oniy qiymatlarning har biri uzatilgan signal oniy qiymatlari chiziqli kombinatsiyasini tashkil etadi:

. (9.16)
Birlamchi signal oniy qiymatlari statistik bog‘liq bo‘lmaganligi uchun vektorning chi elementini hisoblashda o‘rtacha qiymati (9.15) ifodaning faqat bir tashkil etuvchisi uchun nolga teng bo‘lmaydi. Bunda signalning o‘rtacha kvadratik qiymati birga tengligini ham e’tiborga olish kerak,

. (9.17)

Shunday qilib, vektor kanalning to‘ntarilgan impuls xarakteristikasini (kerak hollarda har ikki tomonidan yoki bir tomonidan nollari kesilgan yoki nollari to‘ldirilgan) anglatadi:

.