10–Ma’ruza. Splayn yaqinlashtirish. Splayn interpolyatsiyalash

2. Kubik splayn bilan interpolyatsilash jarayonining yaqinlashishi.
Bu yerda kubik interpolyatsion splaynlarning tugun nuktalar soni cheksizga intilganda interpolyatsiyalanuvchi funksiyaga intilishini kо‘rsatamiz.
Interpolyatsion splayn bilan orasidagi farq funksiya silliqlik tartibiga va tugun nuqtalarning joylashishiga bog‘liq. Soddalik uchun nuqtalari tekis joylashgan tо‘rlar ketma-ketligini qaraymiz:

bu yerda

Bu holda (9)-sistema kо‘rinishi quyidagicha bо‘ladi
(11)
bunda
.
f(x) funksiyadan [a,b] oraliqda tо‘rtinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega bо‘lsin deb talab qilamiz:

Bundan tashqari

chegaraviy shartlari bajarilsin, xuddi shunday shartlar splayn uchun ham bajarilsin deb shart qо‘yamiz.

deb belgilaymiz.
Faraz qilamiz , funksiyani oraliqda tо‘rda interpolyatsiyalaydigan splayn bо‘lsin. quyidagi teoremada (x) funksiya va uning va hosilalarining interpolyatsiya xatolari bahosi keltirilgan.
1-teorema. Agar

bо‘lsa,
(12)
(13)
(14)
baholar о‘rinli bо‘ladi.
Bu tengsizliklardan, larning larga intilishi kelib chiqadi.
Bu teoremani isbot qilish uchun xatolikni baholovchi lemmani keltiramiz.

deb belgilaymiz.
1-lemma. ychun
(15)
Isbot. bо‘lganligi uchun, bu yerda (11)-sistemaning yechimi, xatolikning bahosini topish kifoY. ni (11) ga qо‘yib
(16)
tenglamalarni hosil qilamiz, bu yerda
(17)
(16)-sistema yechimini о‘ng tomonlar orqali baholaymiz. Buning uchun (16)-tenglamani kо‘rinishida yozamiz. Bundan

kelib chiqadi.
Bu tengsizlik barcha lar uchun о‘rinli bо‘lanigi uchun, maksimumga erishadigan uchun ham, ya’ni uchun ham о‘rinli bо‘ladi.
Shuning uchun

ya’ni
(18)
bajariladi.
Bundan (15)-bahoni hosil qilish uchun baholash lozim. Bunda lar (17)-tenglik yordamida aniqlangan. ni
(19)
kо‘rinishda yozamiz va Teylor formulalaridan foydalanamiz.

munosabat о‘rinli bо‘ladi.
Xuddi shunday usul bilan

tenglikni hosil qilish mumkin.
(19)-dan

kelib chiqadi. Bundan

bunda kelib chiqadi.
(18)-dan

ekanligi ma’lum bо‘ladi.1-lemma isbot bо‘ldi.
Endi 1-teoremani isbot qilishga о‘tamiz. Eng avval (14)-bahoni kо‘rsatamiz. kesmani qaraymiz. Bu kesmada ga shunday birinchi darajali kо‘phadni qо‘shib ayiramizki, birinchi darajali kо‘pxad ni va nuqtalarda interpolyatsiyalasin.
Unda quyidagiga ega bо‘lamiz:
(20)
о‘ng tomondagi hadlarni alohida – alohida baholaymiz. birinchi darajali kо‘pxad ni interpolyatsiyalovchi ekanligi uchun, interpolyatsiya xatoligini baholash formulasidan :
₍₂₁₎

kо‘rinishda bо‘ladi.
Shuning uchun

bundan lemmaga asosan
(22)
baho hosil bо‘ladi.
(20) dan (21) va (22) larga asosan ixtiyoriy uchun
(23)
hosil bо‘ladi. ixtiyeriy bо‘lgani uchun (14)-baho о‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
Endi (13)-bahoni о‘rinli ekanligini kо‘rsatamiz. kesmada funksiyani qaraymiz. bо‘lgani uchun shunday nuqta topiladiki .
Shu sababli

bо‘ladi. Shunday qilib

bо‘ladi.
Agar (14) ni inobatga olsak

bundan (13)-kelib chiqadi.
(12)-bahoni isbot qilish kerak.
(24)
doimiy son, ni shartdan aniqlaymiz, ya’ni

ga egamiz. Shuning uchun topiladiki

bо‘lgani uchun

ya’ni

bо‘ladi.
Bundan va (14)- dan

baho hosil bо‘ladi.
Bundan (12)-baho kelib chiqadi.