100 лет со дня рождения

В
-множества. В дальнейшем операция 
решета принесла большие плоды и в теории 
В
-множеств. С помо-
щью операции решета Н.Н. Лузин показал, что отрезок может быть 
представлен как сумма 
χ
1
попарно неперекрывающихся 
В
-мно-
жеств. Это до сих пор является наиболее сильным из чисто теоре-
тико-множественных результатов, примыкающих к проблеме кон-
тинуума и не опирающихся на аксиому Цермело. Теория 
А
-мно-
жеств изложена Н.Н. Лузиным в монографии «Leson sur les en sem-
bles analytiques», вышедшей в Париже в серии монографий по 
теории функций, руководимой Борелем. Эта книга излагает как 
собственные результаты Н.Н. Лузина, так и результаты, получен-
ные целым рядом учеников Н.Н. Лузина. Она чрезвычайно богата 
фактами, а также идеями и постановками вопросов. По существу 
говоря, эта книга явилась программой для всех последующих работ 
по дескриптивной теории множеств, как для советских учёных, так 
и за границей (Польша, США, Япония и т. д.). Кроме теории 
А
-
мно жеств, в этой монографии содержится теория так называемых 
проективных множеств. Этот класс множеств был открыт Н.Н. Лу-
зиным. Простейшие свойства этого класса были изучены Н.Н. Лу-
зиным и польским учёным Серпинским. Ученики Н.Н. Лузина в 

---

43
Николай Николаевич Лузин
последние годы получили ряд дальнейших результатов в этой об-
ласти. Этот класс множеств [был получен] исходя из 
В
-множеств, с 
помощью операций проектирования или непрерывного преобразо-
вания и взятия дополнения. Наиболее важным обстоятельством, 
обнаруженным Н.Н. Лузиным в теории проективных множеств, 
является совершенно специфический характер трудностей, возни-
кающих при попытках дальнейшего развития учения о проектив-
ных множествах. Глубокий анализ проблем теории проективных 
множеств, не поддающихся решению, проведенный Н.Н. Лузи-
ным, привёл его к предположению, что недоступность этих про-
блем имеет совершенно особенный, не встречавшийся до сих пор 
в математике, характер. Дело не в том, что у математиков не хвата-
ет изобретательности для их решения, а в своеобразной природе 
определения этих множеств, которая не допускает слишком далеко 
идущих положительных заключений. Н.Н. Лузин показал, что к 
вопросу о пустоте или непустоте того или иного вполне индивиду-
ального проективного множества 
–
названного им резольвентой 
–
может быть сведен широкий круг разнообразных общих проблем, 
среди которых имеются и такие, как, например, некоторые случаи 
проблемы континуума, на которые по самой природе вещей невоз-
можно рассчитывать получить однозначный ответ в классическом 
смысле этого слова. Н.Н. Лузин ясно указал на то, что здесь нахо-
дится область, на которую в будущем должна пролить свет матема-
тическая логика. В настоящее время различными учёными получе-
ны значительные результаты в направлении осуществления этой 
программы Н.Н. Лузина. Н.Н. Лузин высказал предположение о 
том, что такие вопросы, как вопрос о мощности дополнений к 
множествам, вопрос об измеримости или наличии свойства Бэра у 
проективных множеств, вопрос об отделимости проективных мно-
жеств, лежат вне современных возможностей математики. Эти про-
блемы требуют развития новых областей математической логики и 
создания новых методов исследования в этой науке. Только на 
этом пути может быть найден выход из того состояния внутренне-
го кризиса, который назрел в теории множеств. В настоящее время 
в этом направлении идет интенсивная работа некоторых новых ма-
тематических школ. Трудности далеко ещё не преодолены, но уже 
стало ясно, что прогнозы, высказанные Н.Н. Лузиным, должны 
подтвердиться.
Теория проективных множеств уже нашла своеобразный от-
клик в математической логике. Прежде всего, было обнаружено, 
что операции проектирования и взятия дополнения по существу 
эквивалентны логическим понятиям «для всех» и «ни для кого». 

---

44
II. А.А. ЛЯПУНОВ О СВОИХ УЧИТЕЛЯХ, СОРАТНИКАХ, УЧЕНИКАХ
К этим понятиям сводятся логические кванторы «существует
 x» 
и 
«для всех 
x-
ов», являющиеся главными операциями в современных 
логических исчислениях. Опираясь на это, польские ученые Тар-
ский и Куратовский показали, что объекты, к построению которых 
ведут наиболее распространенные логические исчисления, не при-
бегающие к аксиомам произвольного выбора, ограничены классом 
произвольных множеств. Таким образом, класс проективных мно-
жеств в некотором смысле ограничивает поле «существенных» ма-
тематических объектов.
В последние годы в работах Чёрча, Клини, Поста и других 
построена новая область математики 
–
теория разрешимых функ-
ций, которая ставит своей задачей анализ математических конс-
трукций и поиски проблем, неразрешимых конструктивным путем. 
Построение этой области протекает под значительным влиянием 
идей, высказанных Н.Н. Лузиным в теории проективных множеств. 
В другом направлении работ, относящихся к основаниям матема-
тики, и созданным голландской школой во главе с Брауэром, су-
щественную роль играет понятие «индивидуально определённого» 
множества. Оказалось, что с точки зрения Канторовской теории 
множеств, всякое «индивидуально определённое» множество явля-
ется 
А
-множеством. Наконец, Гёдель доказал непротиворечивость 
гипотезы континуума. В этой работе он частично черпал тематику 
из работ Н.Н. Лузина по проективным множествам. Изо всего это-
го видно, что хотя «кризисное» состояние в теории множеств ещё 
далеко не разрешено, но теория проективных множеств уже смогла 
пролить свет на некоторые наиболее принципиальные вопросы, 
связанные с этим кризисом, и много дала в смысле приближения 
«выхода» из этого кризиса.
Описание роли Н.Н. Лузина в науке было бы неполно, если 
бы мы не отметили его роли как главы и создателя московской 
математической школы. Значительное число выдающихся матема-
тиков являются его учениками. Отметим хотя бы покойных 
М.Л. Суслина, П.С. Урысона, И.И. Привалова и др. Едва ли мож-
но в истории русской математики указать человека, из учеников 
которого вышло столько первоклассных учёных, как у Н.Н. Лузи-
на. Необычайный успех Н.Н. Лузина в создании школы объясня-
ется тем, что, будучи профессором Московского Университета, 
Н.Н. Лузин умел объединить вокруг себя наиболее одарённых сту-
дентов и вводил начинающих математиков в наиболее актуальную 
научную проблематику. Он умел показать начинающим наиболее 
интересные и важные проблемы, а также основные идеи и трудно-
сти, определяющие характер этой проблематики. Этим объясняет-

---

45
Николай Николаевич Лузин
ся то, что неоднократно, ещё будучи студентами, ученики Н.Н. Лу-
зина получали первоклассные результаты. Очень многие начинали 
свою научную деятельность с продолжения и развития только что 
законченных работ Н.Н. Лузина. 
Помимо работ в области теории функций, Н.Н. Лузину принад-
лежит целый ряд работ в области математического анализа и диф-
ференциальной геометрии. Им доказана сходимость метода Чап-
лыгина приближённого решения дифференциальных уравнений и 
показано, что скорость сходимости весьма велика. Кроме того, им 
построена качественная теория интегралов некоторых дифферен-
циальных уравнений, описывающих движение по «не идеально 
гладкому» полотну железной дороги, и найдены условия устойчи-
вости движения. В области дифференциальной геометрии Н.Н. Лу-
зин занимался классическим вопросом об изгибании на главном 
основании. Этому вопросу посвящено большое число работ круп-
ных геометров. Однако до Н.Н. Лузина были не известны условия, 
при которых такие изгибания существуют. Н.Н. Лузин показал, 
что существование и свойства изгибаний является очень специаль-
ным, так сказать, «редко встречающимся» свойством поверхности.
Наконец, необходимо отметить деятельность Н.Н. Лузина в 
области создания учебников. Н.Н. Лузин является автором учебни-
ка дифференциального и интегрального исчисления, выдержавше-
го уже более 16 изданий. Первоначально Н.Н. редактировал пере-
вод учебника Грэнвиля. Затем он его постепенно, от издания к 
изданию, перерабатывал и усовершенствовал, с одной стороны, 
приближал его к запросам нашей высшей школы, с другой сторо-
ны, повышал общий теоретический уровень учебника. Результатом 
этой работы явилось издание учебника дифференциального и ин-
тегрального исчисления, которым пользуется большинство высших 
школ нашего Союза. Кроме этого, Н.Н. Лузин является автором 
очень своеобразно и чрезвычайно интересно написанного учебни-
ка по теории функций действительного переменного. В этой книге, 
с присущим ему мастерством, Н.Н. Лузин сочетал большую идей-
ную глубину с практичностью и увлекательностью изложения. 

---

46
II. А.А. ЛЯПУНОВ О СВОИХ УЧИТЕЛЯХ, СОРАТНИКАХ, УЧЕНИКАХ