10. Узлуксиз функцияларнинг интегралланувчи бўлиши

3⁰. Икки каррали интегралнинг хоссалари. Икки каррали интеграл ҳам [2] 35-маърузада батафсил баён этилган аниқ интегралнинг хоссалари сингари қатор хоссаларга эга. Шуни ҳам айтиш керакки, уларнинг исботлаш жараёнларидаги мулоҳазалар бир–бирига ўхшаш бўлади. Шуларни эътиборга олиб қуйида келтириладиган хоссаларнинг баъзиларининг исботлаш йўл–йўриқларини, баъзиларининг эса исботсиз келтириш билан кифоя­ланамиз.
1) Фараз қилайлик, функция тўпламда интегралла­нув­чи бўл­син. Агар нол юзали чизиқ билан умумий ички нуқ­та­га эга бўл­ма­ган боғламли ва тўпламларга ажралган бўлса, функция ҳар бир ва ларда интегралланувчи ва
(2)
бўлади.
◄ Айтайлик,


лар мос равишда ва ларнинг бўлаклашлари бўлсин. Бу бў­лак­­лаш­лар тўпламни

бўлаклашларини ҳосил қилади.
Агар
, , , , ,
лар функциянинг бўлаклашларига нисбатан Дарбу йи­ғин­дилари бўлса, унда
,

бўлиб,

бўлади. Демак, функция ва тўпламларда интегралланувчи.
Ушбу
,
тенгликларни эътиборга олиб,

бўлишини топамиз. ►
Юқоридаги хоссанинг акси ҳам ўринли, яъни функциянинг ҳар бир ва тўпламларда интегралланувчи бўлса, у да интеграл­ла­нув­чи бўлиб (2) тенглик ўринли бўлади.
2) Агар функция да интегралланувчи бўлса, функ­ция ҳам да интегралланувчи ва

бўлади. Бу хоссанинг исботи ушбу

тенгликдан келиб чиқади.
3) Агар ва функциялар да интеграл­ла­нув­чи бўлса, функция ҳам да интегралланувчи ва

бўлади.
4) Агар функция да интегралланувчи бўлиб да бўлса,

бўлади.
Бу хоссанинг исботи

бўлишидан келиб чиқади.
5) Агар ва функциялар да интеграланув­чи бўлиб, учун бўлса, у ҳолда

бўлади.
◄ Бу хоссанинг исботи функцияга 5)- хоссани тат­биқ этиш ва 3)-хоссадан фойдалиш натижасида келиб чиқади. ►
6) Агар функция да интегралланувчи бўлса, у холда функция ҳам да интегралланувчи ва

бўлади.