10. Стокс формуласи

Биринчи ва иккинчи тур сирт интеграллари орасидаги боғланиш. Стокс формуласи
1⁰. Стокс формуласи. Фазода ушбу
(1)
(1) тенглама билан аниқланган сиртни қарайлик. Унинг текисликдаги проекцияси тўпламни (шаклни) ҳосил қилсин. сирт ва шакл­нинг чегараловчи ёпиқ чизиқларни (контур­ларни) мос равишда ва дейлик. Равшанки, нинг проекцияси бўлади.
Сирт томони ва контури йўналишлари унинг проекциялари йўналиш­лари ораси­даги мувофиқлик 62- чизмада келтирилган.

62-чизма
Айтайлик, (1) тенгламадаги функция тўпламда узлуксиз ва узлуксиз хусусий ҳосилаларга эга бўлсин.

Фараз қилайлик, сиртда функция аниқланган бўлиб, у узлуксиз ва узлуксиз

хусусий ҳосилаларга эга бўлсин. Равшанки, бундай ҳолда ушбу

эгри чизиқли ушбу интеграл мавжуд бўлади. Бунда контур йўналишнинг сирт томони билан мувофиқлиги 29-чизмада ифодаланган.
Модомики, контур сиртга тегишли экан, унда нинг нуқталари тенгламани қаноатлантиради. Бинобарин, да функция бўлиб, у да берилган икки ўзгарувчили функцияга айланади. Шунинг учун
(2)
бўлади.
Грин формуласидан фойдаланиб топамиз:
.
Бу тенгликнинг ўнг томонидаги интеграл остидаги хусусий ҳосила қуйидагича

бўлиб,

бўлади.
Маълумки, сиртнинг устки томони қаралганда унинг нормалининг йўналтирувчи косинуслари
, ,
бўлади. Бу муносабатлардан

бўлиши келиб чиқади. Натижада
(3)
бўлади.
Энди кейинги тенгликдаги икки карали интегрални аввалги маъруза­да келтирилган

формуладан фойдаланиб иккинчи тур сирт интеграли орқали қуйидагича

(4)

ёзиб оламиз. Сўнг бу иккинчи тур сирт интеграли учун, биринчи ва иккин­чи тур сирт интегралларини ўзаро боғловчи ушбу

(5)

формулаларга кўра
(6)
бўлиб, бу тенгликдаги биринчи тур сирт интеграллари яна (5) фор­му­ла­лар­га биноан
(7)
бўлади. Юқоридаги (2), (3), (4), (6) ва (7) муносабатлардан
(8)
бўлиши келиб чиқади.
Худди шунга ўхшаш сирт ва унда аниқланган , функ­­циялар учун тегишли шартларда
(9)
бўлиши кўрсатилади.
(8) ва (9) тенгликларни ҳадлаб қўшиб топамиз:

(10)
.

(10) формула Стокс формуласи дейилади.

Стокс формуласи сирт бўйича олинган сирт интегралини шу сирт­нинг чегараси ёпиқ эгри чизиқ бўйича олинган эгри чизиқли интег­рал ора­сидаги боғланишни ифодалайди.