10. O’zgaruvchilarni almashtirib integrallash usuli

1-ma’ruza. Integrallash usullari
Reja
1⁰.O’zgaruvchini almashtirib integrallash usuli.
2⁰.Bo’laklab integrallash usuli.
3⁰.Sodda kasrlarni integrallash.
1⁰. O’zgaruvchilarni almashtirib integrallash usuli.
Ushbu aniqmas integralni hisoblash talab etilgan bo’lsin. Bunda funksiya biror intervalda aniqlangan va

ko’rinishda yozilishi mumkin deylik.
Agar funksiya intervalda boshlang’ich funksiya ga ega bo’lib, funksiya intervalda (bunda ) different-siallanuvchi bo’lsa, u holda

formula o’rinli .
◄Haqiqatan, ►
Odatda integralni bunday usul bilan hisoblash o’zgaruvchini almashtirish usuli bilan integrallash deb ataladi.
O’zgaruvchilarni almashtirish usulining muhim tomoni o’zgaruvchilarni juda ko’p usul bilan almashtirish imkoniyati bo’lgan holda ular ichidan integralni sodda va hisoblash uchun qulay holga keltiradiganini tanlab olishdan iborat.
8.3—misol. ni hisoblansin.
◄Berilgan integralda o’zgaruvchi ni kabi almashtiramiz. Bunda bo’lib ( va ) larga qarang)
►
8.4—misol. ni hisoblansin.
◄ Bu integralda almashtirishni bajaramiz. Natijada bo’lib,

bo’ladi. ►


2⁰. Bo’laklab integrallash usuli.
Ikki va funksiya intervalda uzluksiz va hosilalarga ega bo’lsin. Ma’lumki, (6—bob-ning 4—§ ga qarang )
.
Bu tenglikdan

bo’lishi kelib chiqadi.
Endi tenglikni integrallab topamiz:

Sunday qilib, quyidagi

formulaga kelamiz. Bu formula bo’laklab integrallash formulasi deyiladi.
Bo’laklab integrallash formulasidan foydalanish uchun integral ostidagi ifodani hamda lar ko’paytmasi ko’rinishida yozib olinadi, bunda albatta hamda ifodalarning integrallarini oson hisoblana olinishi lozimligini e’tiborda tutish kerak.
8.5—misol. ni hisoblansin.
◄Integral ostidagi ifodani lar ko’paytmasi deb olamiz. U holda bo’ladi. Bo’laklab integrallash formulasidan foydalanib topamiz:
►
8.6—misol. ni hisoblansin.
◄Bu integralda

bo’ladi. formuladan foydalanib topamiz:
.
Bu tenglikning o’ng tomonidagi ni

ko’rinishda yozsak, unda munosabat ushbu

ko’rinishni oladi. Keyingi tenglikdan esa quyidagi

rekurrent formula kelib chiqadi.
Ravshanki, bo’lganda

bo’ladi.
bo’lganda, mos integrallar rekurrent formula yordamida topiladi. Masalan:
. ►


3⁰. Sodda kasrlarni integrallash.
Sodda kasrlarning aniqmas integral-larini hisoblaymiz.
1). sodda kasrning aniqmas integrali .

2). sodda kasrning aniqmas integrali ham tez hisoblanadi:

3). sodda kasrning (bunda kvadrat uchhad haqiqiy ildizga ega emas) integrali ni hisoblash uchun avval kasrning mahrajida turgan kvadrat uchhadni ushbu

ko’rinishda yozib olamiz. U holda

bo’ladi, bunda Bu integralda almashtirishni bajaramiz:

Demak,

bunda ixtiyoriy o’zgarmas.
4). sodda kasrning integrali ni hisoblash uchun 3)—holdagidek o’zgaruvchini almashtiramiz: . Natijada quyidagiga ega bo’lamiz:

Bu munosabatdagi integral ushbu bobning 2—§ ida keltirilgan integ-ral bo’lib, u rekurrent formula orqali hisoblanadi.

Adabiyotlar.

1. 
   Claudio Canute, Anita Tabacco, Mathematical Analysis I, Springer-Verlag Italia, Milan 2008.
   
2. 
   Xudoyberganov G., Vorisov A. K., Mansurov X. T., Shoimqulov B. A. Matematik analizdan ma’ruzalar, I q. T. “Voris-nashriyot”, 2010.
   
3. 
   Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1 т. М. «ФИЗМАТЛИТ», 2001.
   
4. 
   Tao T. Analysis 1. Hindustan Book Agency, India, 2014.