10-mavzu. Ikkinchi tartibli o‘zgarmas koeffitsiyеntli chiziqli bir jinsli bo‘lmagan diffеrеnsial tеnglamalarni o‘zgarmasni variatsiyalash usuli (Lagranj usuli) va Ostrogradskiy-Liuvill formulasi yordamida yechish

Misol. Tenglamani yeching:

.

Yechish. Berilgan tenglamaga mos bir jinsli tenglamani yechamiz. Harakteristik tenglamasi bo’lib, ildizlarga ega. Umumiy yechim funksiya bo’ladi. Berilgan tenglamaning yechimini ko’rinishda izlaymiz. sistema ushbu ko’rinishda bo’ladi.

Sistemani yechib va tenglamalarni yoki ularni integrallab, ifodalarni topamiz. Bulardan foydalanib, umumiy yechimni quyidagicha yozamiz:

.

Ostragradskiy-Liuvill formulasi

tenglamaning hususiy yechimi ma’lum bo’lsa, uni umumiy yechimini

ko’rinishdagi Ostragradskiy-Liuvill formulasi yordamida topish mumkin.

Misol. Tenglamaning umumiy yechimini toping:

.

Yechish. Ostragradskiy-Liuvill formulasiga asosan

yoki

hosil bo’ladi.

Agar

va ekanligini inobatga olsak, ushbu tenglamani olamiz

.

Bu tenglamadan ni topish uchun uni xar ikkala tomonini ga bo’lib yuborsak,

yoki

tenglama hosil bo’ladi.

So’ngi tenglikni integrallash natijasida

ifodaga ega bo’lamiz. ekanligini eotiborga olib, umumiy yechimni

ko’rinishda yozamiz

. Ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli

(1)

tenglamaning xususiy yechimi ma’lum bo’lganda, uning umumiy yechimini topish uchun yuqoridagi usul yordamida tenglamaning tartibini pasaytirish mumkin. Ammo ko’p hollarda quyidagi Ostrogradskiy-Liuvill formulasidan foydalanib tenglamaning tartibini pasaytirish qulay bo’ladi:

bu yerda , - berilgan (1) tenglamaning birorta xususiy yechimi, esa uning izlanayotgan umumiy yechimi, - ixtiyoriy o’zgarmas.

Agar ikkinchi tartibli

(2)

tenglamaning xususiy yechimi berilgan bo’lsa, u holda uning umumiy yechimi

Abel formulasi yordamida topiladi.

Tenglamalarni yeching.

1. 
   .
   

◄ va

Endi _bu tenglamani integrallab umumiy yechimga ega bo’lamiz.►