10-mavzu. Diffеrеnsiаl tеnglаmаlar nazariyasi

Misol. Differensili tenglamani yeching . .
Yechish: Avval niyechamiz.
.
, u holda uni berilgan tenglamaga qo`yib, ni topamiz: bundan berilgan tenglamaning umumiy yechimini topamiz. .


9.2.2. Bеrnulli tеnglаmаsi
Ta’rif. ko’rinishidagi tenglamaga Bеrnulli tеnglаmаsi deyiladi.
Аgаr bo’lsа, chiziqli, bir jinsli bo’lmаgаn, dа chiziqli, bir jinsli tеnglаmа hоsil bo’lаdi. Shuning uchun (8) dа dеb fаrаz qilinаdi. , almashtirish Bеrnulli tеnglаmаsini chiziqli tеnglаmаga keltiradi, bunda , .
Misol. Differensili tenglamani yeching . .
Yechish: Bu tеnglаmа Bеrnulli tеnglаmаsidir . аlmаshtirishni bаjаrаmiz. U hоldа . .Bu tеnglаmаning umumiy yechimini tоpаmiz: .Nаtijаda ushbu yechimni оlаmiz.


9.2.3. Rikatti tenglamasi
Ta’rif. ko’rinishdagi tenglamaga Rikatti tenglamasi deyiladi.
Bu tenglama umumiy holda kvadraturada integrallanmaydi.Lekin,agar bu tenglamaning biror xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, almashtirish Rikatti tenglamasini z o’zgaruvchiga nisbatan Bernulli tenglamasiga keltiradi.
Misol. Differensil tenglamani yeching .
Yechish. Bu Rikatti tenglamasidir. bu tenglamaning xususiy yechimidir.Suning uchun almashtirish bu Rikatti tenglamasini z o’zgaruvchiga nisbatan Bernulli tenglamasiga keltiradi:


9.3.1. To’la differensial tenglamalar
Ta’rif.Agar (1) tenglamada M(x,y) va N(x,y) uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalar uchun (2) munosabat o’rinli bo’lsa,u holda (1) tenglamaga to’la differensialli differensial tenglama deyiladi.
(2) shatning bajarilishi (1) tenglamaning o’ng tomoni biror u(x,y) funksiyaning to’la differensiali ekanligini anglatadi.U holda (1) tenglama du(x,y)=0 yoki u(x,y)=C umumiy integralga ega bo’ladi.Bunda
(1) tenglamaning umumiy yechimi