10-mavzu. Diffеrеnsiаl tеnglаmаlar nazariyasi

9.6.1. O’zgarmas koeffisentli, chiziqli differensial tenglamar sistemaslari

Odatda, differensial tenglamalar isitemalari qaralayotgaganda, funksiya argumentlari t orliqi, noma’lum funksiyalar esa orqali belgilanadi.

Ta’rif. Ushbu (1)
ko’rinishdagi tenglamalar sistemasiga birinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasi deyiladi.
(1) tenglamaning (2)
shartlarni qanolantiruvchi yechimini topish masalasi boshlang’ich shartli masala yoki Koshi masalasi deyiladi. (2) shartlar boshlang’ich shartlar yoki Koshi shartlari deyiladi.
Teorema (yechimninng mavjudligi va yagonaligi). Agar funksiyalar va barcha xususiy hosilalar boshlang’ich qiymatlarning atrofida uzluksiz bo’lsa, u holda (1) tenglamaning (2) shartni qanoatlantiruvchi yechimi shu atrofda mavjud va yagonadir.
Ta’rif. Agar differensial tenglamalar sistemasi barcha noma’lum funksiyalar va ularning hosilalariga nisbatan chiziqli bo’lsa, u holda bunday differensial tenglamalar sistemasi ciziqli differensial tenglamalar sistemasi deyiladi.
Ta’rif. Ushbu
(3)
ko’rinishdagi differensial tenglamalar sistemasiga o’zgarmas koeffisentli birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi deyiladi.
Bu yerda - sistemaning koeffisentlari deyiladi.
Quyidagich belgilashlarni qabul qilsak ,

u holada (3) sistemani
(4)
matrisaviy ko’rinishda yozish mumkin.
Ta’rif. Agar (4) sistamada , hosil bo’lgan
(5)
sistema (4) sistemaga mos bir jinsli sistema deyiladi.
(6)
Kursimizda chiziqli, bir jinsli, o’zgarmas koeffisentli differensial tenglamalar sistemalarini o’rganamiz.
Bir jinsli yoki bir jinsli bo’lmagan o’zgarmas koeffisentli, chiziqli differensial tenglamalar sistemasini bitta yuqori tartibli o’zgarmas koeffisentli, chiziqli differensial tenglamaga keltirib integrallash usuli qulay hisoblanadi.
Soddalik uchun bu usulni ikki noma’lum funksiyali bir jinsli, o’zgarmas koeffisentli, chiziqli differensial tenglama uchun o’rganamiz.
Bu sistemening ko’rinishi quyidagicha
(7)
Sistemening birinchi tenglamasini bo’yicha differensiallab, quyidagiga ega bo’lamiz:
(8).
(8) sistemada hosilalarni (7) sistemedagi ifodalarini qo’yib:
,

yoki
.

sistemada bo’lsa, u holda bu sistemani noma’lumlarga nisbatan yechish mumkin. Bunda noma’lum funksiyalarga hosilalar orqali chiziqli ifodalanadi.

(9) funksiyaga nisbatan ikkinchi tartibli, bir jinsli, o’zgarmas koeffisentli chiziqli differensial tenglamadir. Uni yechib funksiyani hosil qilamiz. Topilgan funksiyani ikkinchi tenglamaga qo’yib funksiyani hosil qilamiz.
Masalan, differensial tenglamalar sistemasini yechish uchun sistemaning birinchi tenglamasini bo’yicha differensiallab, quyidagiga ega bo’lamiz:
.

sistemani noma’lumlarga nisbatan yechib:

Birinchi tenglamani yechamiz.


Topilgan yechimni ikkinchi munosabatga qo’yib noma’lum funksiyani hosil qilamiz.

Bir jinsli o’zgarmas koeffisentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasining fundamental yechimlar sistemasini bevosita ham toppish mumkin.
Buning uchun
(6)
tenglamalar sistemesi yechimlarini

ko’rinishida izlaymiz.(bu yerda - o’zgarmas sonlar). Ularni (3) sistemaga qo’yib, ifodaga bo’lib va barcha hadlarni nenglikning bir tomoniga yig’ib, quyidagi sistemani hosil qilamiz
(11)
Bu bir jinsli tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimlarga ega bo’lishi uchun uning determinant noldan farqli bo’lishi kerak:
(12)
(12) tenglama (6) sistemaning xarakteristik tenglamasi deyiladi.