10-ma’ruza mavzu: O‘zgarmas koeffitsiyеntli chiziqli bir jinsli bo‘lmagan diffеrеnsial tеnglamada o‘zgarmasni variatsiyalash usuli

Misol: 2) , .

.

,
,
, ,



Misol. Ushbu differensial tenglamani yeching:

Bu tenglamada esa koeffitsiyentlar oʻzgarmas son emas, balki funksiyalar, shunday boʻlsada algoritm oʻzgarmaydi:

1. 
   Mos bir jinsli differensial tenglama
   

yoki

ning umumiy yechimini izlaymiz:

=

Shunday qilib fundamental sistema lardan iborat.

2. 
   Xususiy yechimni oʻsha koʻrinishda izlaymiz:
   

Integrallaymiz:

Demak berilgan tenglamaning umumiy yechimi:

Agar deb faraz qilsak, (1) tenglamaning xususiy yechimini hosil qilamiz:

Xususiy yechimlarni topishda quyidagi teoremaning natijalaridan foydalanish maqsadga muvofiqdir:

Teorema:

(10)

Tenglamaning y* yechimini (bunda oʻng tomon ikkita f(x) va funksiyalarning yigʻindisidan iborat, umuman olganda qoʻshiluvchilar soni har qancha boʻlganda ham teorema oʻrinli) yigʻindi shaklida tasvirlash mumkin, bunda va mos ravishda

(11)
(12)

tenglamalarning yechimlari.

Isbot. (11) va (12) tengliklarning oʻng va chap tomonlarini qoʻshib, quyidagini hosil qilamiz:

Ushbu tenglikdan esa (10) tenglamaning yechimi ekani kelib chiqadi.

Misol. Ushbu

tenglamaning xususiy yechimi topilsin.

Yechish.

Tenglamaning xususiy yechimi:

boʻladi.

Tenglamaning xususiy yechimi

boʻladi. Berilgan tenglamaning xususiy yechimi:

boʻladi.