10. Funksiyaning monotonligi

3-ta’rif. Funksiya hosilasini nolga aylantiradigan nuqta uning stansionar (kritik) nuqtasi deyiladi.
Eslatma. Agar funksiya biror nuqtada ekstre-mumga erishsa, u shu nuqtada hosilaga ega bo’lishi shart emas.
Masalan, funksiya nuqtada minimumga erishadi, biroq u shu nuqtada hosilaga ega emas.
Demak, funksiyaning ekstremum nuqtalari uning statsionar hamda hosilasi mavjud bo’lmagan nuqtalari bo’lishi mumkin.
4-ta’rif. Agar shunday son topilsaki,

bo’lsa, funksiya nuqtaning chap tomonida ishora saqlaydi deyiladi.
Agar shunday son topilsaki,

bo’lsa, funksiya nuqtaning o’ng tomonida ishora saqlaydi deyiladi.
6-teorema. Aytaylik, funksiya to’plamda berilgan bo’lib, quyidagi shartlarni bajarsin:
1) hosila mavjud;
2) ;
3) hosila nuqtaning o’ng va chap tomonlarida ishora saqlasin.
Agar hosila nuqtani o’tishda ishorasini o’zgartirsa, funksiya nuqtada ekstremumga erishadi.
Agar hosila nuqtani o’tishda ishorasini o’zgartirmasa, funksiya nuqtada ekstremumga erish-maydi.
◄ Aytaylik,

bo’lsin. U holda o’suvchi, ya’ni kamayuvchi, ya’ni bo’lib, bo’ladi. Demak, bu holda funksiya nuqtada maksimumga erishadi.
Aytaylik,

bo’lsin. U holda kamayuvchi, ya’ni o’suvchi, ya’ni bo’lib, da bo’ladi.
Demak, bu holda funksiya nuqtada minimumga erishadi.
Agar yoki da , da bo’lsa, unda funksiya da o’suvchi yoki da kamayuvchi bo’lib funksiya nuqtada ekstremumga erishmaydi. ►
7-teorema. funksiya to’plamda berilgan bo’lib, quyidagi shartlarni bajarsin:
1)
2) hosila mavjud va chekli;
3) hosila nuqtaning o’ng va chap tomonlarida ishora saqlansin.
Agar hosila nuqtani o’tishda ishorasini o’zgartirsa, funksiya nuqtada ekstremumga erishadi.
Agar hosila nuqtani o’tishda ishorasini o’zgar-tirmasa, funksiya nuqtada ekstremumga erishmaydi.
Bu teorema yuqoridagi 6-teorema kabi isbotlanadi.
8-teorema. Faraz qilaylik funksiya to’plamda berilgan va bo’lib, quyidagi shartlarni bajarsin:
1) hosila mavjud;
2) hosila mavjud;
3)
U holda bo’lganda funksiya nuqtada ekstremumga erishib, bo’lganda nuqtada maksimumga, da minimumga erishadi.
Agar bo’lsa, funksiya nuqtada ekstremumga erishmaydi.
◄ funksiyaning nuqtadagi Teylor formulasi

ni olamiz. Bu formula teoremaning shartida ushbu

ko’rinishga keladi. Bundan esa da

bo’lishi kelib chiqadi.
« » ning ta’rifiga ko’ra son uchun nuqtalarda

bo’ladi. Demak, uchun

miqdorlar bir xil ishorali bo’ladi. Bundan esa da

ning ishorasi ayirmaning ishorasi bilan bir xil bo’lishi kelib chiqadi.
Agar bo’lib, bo’lsa, unda , ya’ni bo’ladi. funksiya nuqtada minimumga erishadi.
Agar bo’lib, bo’lsa, unda , ya’ni bo’ladi. funksiya nuqtada maksimumga erishadi.
Agar bo’lsa, ayirma ishora saqlamaydi. Bu holda funksiya nuqtada ekstremumga erishmaydi. ►
Xususan, agar nuqta funksiyaning statsionar nuqtasi bo’lib, funksiya nuqtada chekli hosilaga ega bo’lsa, shu nuqtada funksiya bo’lganda maksimumga, minimumga ega bo’ladi.
2-misol. Ushbu

funksiya ekstremumga tekshirilsin.
◄ Bu funksiya aniqlangan bo’lib, u shu to’plamda uzluksiz. Uning hosilasini topamiz:
(1)
Ravshanki, funksiyaning hosilasi nuqtada nolga alanadi: ; nuqtada esa funksiyaning hosilasi mavjud emas.
Hosila ifodasi (1) dan ko’rnadiki, nuqtaning chap tomonidagi nuqtalarda o’ng tomonidagi nuqtalarda bo’ladi. Demak, berilgan funksiya nuqtada minimumga erishadi va bo’ladi.
YAna hosila ifodasi (1) dan ko’rinadiki, nuqtaning chap tomonidagi nuqtalarda , o’ng tomonidagi nuqtalarda bo’ladi.
Demak, funksiya nuqtada maksimumga erishadi va bo’ladi. ►