10-amaliy mashg‘ulot

10-amaliy mashg‘ulot.
Mavzu: Gruppa. Mavzuga oid misollar yechish.
Kommutativ gruppa. Gruppa tartibi. Multiplikativ, additiv gruppalar. Gruppaning sodda xossalari. Gruppalar gomomorfizmi.
Aytaylik bizga, to’plam va binar * algebraik amal berilgan bo`lsin.
1-ta’rif. Bo`sh bo`lmagan to’plamda * algebraik amal assotsiativ bo`lsa, algebra yarimg ruppa deyiladi.
2-ta’rif. Bo`sh bo`lmagan to’plamda quyidagi xossalar o`rinli bo`lsa, algebra gruppa deyiladi.
Masalan:
a) to’plamning ixtiyoriy elementlari uchun munosabat o`rinli bo`lsa, ya’ni binar * algebraik amal assotsiativ bo`lsa;
b) to’plamning ixtiyoriy elementi uchun shunday element mavjud bo`lib, u shartni qanoatlantirsa, ya’ni to’plamda neytral element mavjud bo`lsa;
d) to’plamning ixtiyoriy elementi uchun shunday element mavjud bo`lib, u quyidagi shartni qanoatlantirsa, ya’ni to’plamning har bir elementiga simmetrik element mavjud bo`lsa.
Ta’rifdan ko`rinadiki, algebra gruppa bo`lishi uchun * algebraik amal bo`lib, u assotsiativ bo`lishi hamda to’plamda e neytral, simmetrik elementlar mavjud bo`lishi kerak ekan.
3-ta’rif. Agar to’plamda berilgan * algebraik amal kommutativ bo`lsa, ya’ni ixtiyoriy uchun o`rinli bo`lsa, gruppa * binar algebraik amalga nisbatan kommutativ gruppa deyiladi. Kommutativ gruppa ba’zi hollarda Abel gruppa deb ham ataladi.
Binar «*» algebraik amalni «+» qo`shish amali bilan almashtiraylik. to’plamda + amali gruppa hosil qilishi uchun u quyidagi xossalarga bo`ysunishi kerak:
1<sup>0</sup>. uchun bajarilishi, ya’ni qo`shish amali assotsiativ bo`lishi;
2<sup>0</sup>. uchun shunday element bo`lsinki, bo`lsin, ya’ni neytral element mavjud bo`lishi;
3⁰. to’plamning ixtiyoriy elementi uchun shartni qanoatlantiruvchi simmetrik ( ) element mavjud bo`lishi kerak.
Ma’lumki, qo`shish amali kommutativdir, shuning uchun algebra kommutativ, ya’ni Abel gruppasidir.
1-misol. Haqiqiy sonlar to’plami qo`shish amaliga nisbatan kommutativ gruppa tashkil qiladi.
Haqiqatan ham, uchun
a) assotsiativlik xossasi o`rinli;
b) uchun mavjudki, ;
d) uchun topiladiki, .
Qo`shish amali haqiqiy sonlar to’plamida kommutativ, assotsiativ bo`lganidan va da neytral va simmetrik element mavjudligidan kommutativ gruppa bo`lishi kelib chiqadi.
Agar «*» algebraik amal sifatida «+» qo`shish amali olinib, algebra qo`shish amaliga nisbatan gruppa bo`lsa, bunday gruppalar additiv gruppalar deyiladi.
Agar «*» algebraik amal sifatida «·» qo`shish amali olinib, algebra ko`paytirish amaliga nisbatan gruppa bo`lsa, bunday gruppalar multi’likativ gruppalar deyiladi.
To’plamning ixtiyoriy elementiga shu to’plamning faqat bitta qarama-qarshi yoki teskari elementini mos qo`yuvchi, har bir elementga bitta neytral elementni mos qo`yuvchi amal unar algebraik amaldir.
Bo`sh bo`lmagan to’plamda ikkita binar algebraik, bitta unar algebraik amal berilgan bo`lsin. Aniqlik uchun binar algebraik amallar uchun «qo`shish» va «ko`paytirish» amallarini, unar algebraik amal sifatida esa simmetrik (qarama-qarshi, teskari) elementning mavjudligini qabul qilaylik.