1. Urinma tekislik Ta‘rifi. Urinma tekislikning yagonaligi xaqidagi teorema. Urinma tekislik tenglamalari

Faraz qilaylik F sirt

x=f₁(u,v), y=f₂(u,v), z=f₃(u,v) (1)

parametrik tenglamalar bilan berilgan bo’lsin. Р(x₀,y₀,z₀) nuqtadagi urinma tekislikning o’zgaruvchi nuqtasi A(x,y,z) bo’lsin. U xolda yukorida isbot qilingan teoremaga asosan , , vektorlar komplanar bo’ladi. Komplanarlik shartiga asosan ulaning aralash ko’paytmasi 0 ga teng bo’ladi.

Bundan urinma tekislikning tenglamasini quyidagi ko’rinishda yozamiz.

=0 (2)

Agar sirt tenglamasi z=f(x,y) ko’rinishda berilgan bo’lsa,

bu tenglama

x=u, y=v, z=f(u,v)

ko’rinishdagi paraemtrik tenglamaga teng kuchlidir. Shuning uchun urinma tekislik tenglamasi kuyidagi ko’rinishda bo’ladi:

=0 (2)

yoki

z-f(x₀,y₀)= f_x(x₀,y₀)(x-x₀)+ f_y(x₀,y₀)(y-y₀) (3)

Endi F sirt

(x,y,z)=0 (_x²+_y²+_z²0)

ko’rinishdagi oshkormas tenglamalar bilan berilgan bo’lsin. Faraz kilaylik

x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)

tenglama F sirtning qandaydir parametrik tenglamasi bo’lsin. U xolda quyidagi

( x(u,v), y(u,v), z(u,v))=0

ayniyatga ega bo’lamiz. Bu ayniyatni u va v parametrlar bo’yicha differentsiallab quyidagini olamiz:

_xx_u+_yy_u+_zz_u=0

_xx_v+_yy_v+_zz_v=0

Oxirgi tengliklar shuni ko’rsatadiki, (_x, _y, _z) vektor r_u(x_u, y_u, z_u) r_v(x_v, y_v, z_v) vektorlarning xar biriga perpendikulyar ekan, chunki ularning skalyar ko’paytmasi 0 ga teng bo’ldi. Demak, bu vektor urinma tekislikka perpendikulyar ekan. Buni etiborga olib urinma tekislik tenglamasini osongina yoza olamiz, ya‘ni

_x(x-x₀)+_y(y-y₀)+_z(z-z₀)=0 (4)

Ta‘rif. F sirtning R nuqtasidagi normali deb, sirtning shu nuqtasidagi urinma tekislikka perpendikulyar to’g`ri chiziqqa aytiladi.

Yuqoridagi muloxazalarga asosan sirtning normali [r_u, r_v] vektor bo’ylab yo’nalgan bo’ladi. Shuning uchun normal tenglamasini osongina tuzish mumkin.

Xaqiqatan xam [ru, rv] vektor normal uchun yo’naltiruvchi vektor bo’lganligidan uning tenglamasini

kurinishida yozamiz.

Urinma tekislik, urinma tekislik tenglamalari, sirtning normali, normal tenglamasi, silliq parametrlangan sirt, vektorlarning komplanarligi.