1. To‘plam matematikaning asosiy tushunchalaridan biri bo‘lib, u matematika faniga

B)( B  A) bilan aniqlanuvchi to‘plam hamqaraladi.
А va В тўпламларнинг элементларидан тузилган барча мумкин бўлган
(a,b) ko‘rinishdagi juftliklar to‘plamiga А va В to‘plamlarning to‘g‘ri (Dekart) ko‘paytmasi
deyiladi va А×В ko‘rinishda belgilanadi.
( a, b) juftlikda aA va b B. Demak, А×В { ( a, b) a A , b B }.
Masalan: А{ 1, 2, 3 }, B{ a, b} bo‘lsa,
АХВ={(1, a); (1, b); (2, a); (2,b); (3,a); (3,b)} bo‘ladi.
4. To‘plamlar ustidagi amallar quyidagi xossalarga ega:
1). А АА, AAA  idempotentlik;
2). A B  B A, A B B  A  kommutativlik;
3). A(B C)(A B) C , A (B C)(A B) C  assotsiativlik;
4). A(B C)(AB)(AC),A(BC)( A B) (A C)  distributivlik;
5). Agar А В bo‘lsa, u holda А ВВ va А ВА bo‘ladi.
Biz faqat 4) ning birinchisini isbotlash bilan chegaralanamiz.
a).xA(B C) bo‘lsin, u holda xA yoki xBC. Faraz etaylik
xA bo‘lsin. U holda xА В va xАС. Demak, x(AB)(AC).
Endi xBC bo‘lsin. U holda xB va x С. Demak, xА В va xА С. Shuning uchun
ham x(AB)(AC). Shunday qilib,
A(B C)  (A B) (A C).(1)
б). x(A B)(A C) bo‘lsa, u holda x A B va x A C. Bundan xA yoki xВ va xС.
Agar xA bo‘lsa, u holda xA(B C) bo‘ladi. Agarda xВ va xС bo‘lsa, xBC bo‘ladi
va shuning uchun ham xA(BC). Demak,
(AB) (AC) A(BC).(2)
(1) va (2) dan isbotlanishi talab etilgan tenglik kelib chiqadi.
5. To‘plamlar nazariyasida bo‘sh to‘plam va universal to‘plam deb ataluvchi to‘plamlar
muhim ahamiyatga ega. Birorta ham elementga ega bo‘lmagan to‘plamga bo‘sh to‘plam deyiladi
va  ko‘rinishda belgilanadi.
Masalan: 1). Auditoriyadagi daraxtlar to‘plami;
2).х+10 tenglamaning natural sonlardagi yechimlari to‘plami;
3). O‘zbekiston hududidagi okeanlar (ummonlar) to‘plami va boshqalar bo‘shto‘plamga misol
bo‘ladi.
Qaralayotgan birorta to‘plamning hamqism to‘plami deb qaralmaydigan to‘plamga universal
to‘plam deyiladi va U harfi bilan belgilanadi.
Ixtiyoriy А to‘plam uchun АU bo‘lgani sababli AUU, AUA , shuningdek AA,
A bo‘ladi.
UA тo‘plamga А ning to‘ldiruvchisi (ya’ni to‘ldiruvchi to‘plami) дyeyiladi va A' bilan
belgilanadi.
Shuningdek, А В bo‘lsa, В\А to‘plamga А ni В gacha to‘ldiruvchi to‘plam deyiladi va
СAВВА ko‘rinishda belgilanadi.
Osonlik bilan ko‘rish mumkinki AA'U, AA', (A')
’
A va agar А В bo‘lsa, u
holda В'А' bo‘ladi.
(А В)'А' В' , (А В)'А' В' - to‘plamlar uchun de Morgan qonunlari o‘rinli.
6. To‘plamlar va ular ustida amallarni diagrammalar yordamida ifodalash qulay. Buning
uchun А to‘plam biror doira ichidagi elementlardan tuzilgan deb qaraymiz. U holdako‘ribo‘tilgan
amallar quyidagicha tasvirlanadi:
а) AB в) AB с) AB
d) ABe) А'f) AB