1-tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularga qo`yilgan koshi masalasini yechish usuli 1-ta’rif

To’lqin tenglamasi uchun koshi masalasining qo’yilishi va uni yechish usullari
1-Ta’rif (Koshi masalasining qo’yilishi). (1)
to’lqin tenglamasining qaralayotgan sohada ikkinchi tartibgacha uzluksiz differensiallanuvchi va
(2)
boshlang’ich shartalarni qanoatlantiruvchi hamda qaralayotgan sohada chegaralangan yechimini topish masalasiga Koshi masalasi deyiladi. Bunda berilgan uzluksiz diffеrеnsiallanuvchi funksiyalar.
LEMMA: 1) Agar (1)-(2) Koshi masalasining (2) boshlang’ich shartlaridagi va lar toq funksiyalardan iborat bo’lsa, u holda barcha uchun bu Koshi masalasi yechumi uchun tenglik o’rinli bo’ladi.
2) Agar bu masaladagi va lar juft funksiyalardan iborat bo’lsa, u holda barcha uchun bu Koshi masalasi yechumi uchun tenglik o’rinli bo’ladi.



XUSUSIY HOSILA 12 To’lqin tenglamasi uchun aralash va chegaraviy masalalarni yechishning fu’re usuli biz bir jinsli chegaraviy shartli 1-chegaraviy masala yechimini, ya’ni

(2)
(1)
to’lqin tenglamasining

b

(3)

oshlang’ich shartni hamda uchlari mustahkamlanishga mos (uchlari siljishi yo’q)


(4)

1-tur chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish bilan tanishamiz. Xuddi shu kabi bir jinsli 2-tur va 3-tur chegaraviy masalalarni hamda ular yordamida tuzuladigan aralash tipdagi bir jinsli chegaraviy masalalrni ham ta’riflashimiz mumkin.Bizga yagonalik teoremasidan ma’lumki qoyiladigan bu chegaraviy masalalr yagona yechimga ega. Quyida biz ushbu yechimni topish masalasi bilan tanishamiz. Yechish usuli. Hozircha (1)-(3) masalaning

ko’rinishdagi nolmas yechimi mavjud deb faraz qlamiz va uninig ko’rinishini topamiz. Buning uchun (4) dan kerakli xususiy hosilalarni olamiz hamda ularni (1) ga qo’yamiz: . Ushbu tenglamani shartga ko’ra aynan nolga teng bo’lmagan ifodaga bo’lib, unga teng kuchli bolgan tenglamaga kelamiz: .

Bu tenglamaning chap qismi faqat o’zgaruvchining funksiyasi bo’lsa, uning o’ng tomoni faqat o’zgaruvchining funksiyasidan iboratdir. Demak u nolmas yechimga ega bo’lishi uchun har ikkala kasrlar aynan bir o’zgarmas songa teng bo’lishi kerak. Hisoblashda qulaylik bo’lsishi uchun uni deb belgilaymiz:

. (5)

Tabiiyki (5) tenglamalar sistemasi aynan nolga teng bo’lmagan yechimga ega bo’lishi lozim bo’lgan quyidagi ikkita oddiy diferensial tenglamalarga ajraladi:

.
(3) chegaraviy shartlarni qaraymiz:

Shartga ko’ra , aks holda bo’lar edi. Shuning uchun yuqoridagi chegaraviy shartlardan

shartlarni hosil qilamiz. Shunday qilib biz qo’yilgan chegaraviy masalani yechish jarayonida funksiya uchun Stuurm-Liuvill masalasi deb ataluvchi quyidagi masalaga keldik
XUSUSIY HOSILA 13