1. Sonlarning bo’linishi

(а, b) = d, а:  va b:  d bo’lsa, bu holda:

Isbot. (a, b) = d bo’lsin. Bu holda: a=ud ; b=vd bo’ladi. U va v sonlar o’zaro tub sonlar bo’lganidan bularning EKUBi 1 ga teng bo’ladi. 2- teoremaga asosan berilgan sonlarning har qanday bo’luvchisi bular EKUBining bo’luvchisi bo’ladi: d=k. Demak,

a=ud =uk b=vd=vk

Bundan:

ya’ni k soni va sonlarning eng katta umumiy bo’luvchilaridir, chunki u va v sonlar o’zaro tub sonlardir. Shunday qilib,

Ammo , demak, Shuni isbotlash talab etilgan edi.

5-teorema. Agar berilgan sonlarni o’zgarmas songa ko’paytirsak bu vaqtda bularning EKUB lari ham shu songa ko’payadi, ya’ni agar (a, b) = d bo’lsa, (am, bm)= dm bo’ladi.

Isbot. (a, b) = d bo’lsin.

(am, bm)=d’ deb belgilaymiz. Oldingi teoremalarga asosan: yoki

Ammo (a, b) = d, demak, , ya’ni d’=md.

Bundan (am,bm)=dm=m (a, b), shuni isbotlash talab etilgan edi.

6- teorema. Agar ab ko’paytma c ga bo’linsa hamda a va c sonlar o’zaro tub sonlar, ya’ni (a, c) = I, bo’lsa, bu holda b soni c ga bo’linadi.

7- teorema. Agar ikki son uchinchi son bilan o’zaro tub bo’lsa, bu holda ularning ko’paygmasi ham o’sha uchinchi son bilan o’zaro tub son bo’ladi, ya’ni agar (a, c)=1 va (b, c}=1 bo’lsa, bu vaqtda (ab, c)=1 bo’ladi.

Isbot. (ab,c) = d bo’lsin. Bu vaqtda ab ko’paytma d ga bo’linishi kerak; shuningdek c ham d ga bo’linishi kerak, Demak, ac ham d ga bo’linishi kerak.Shartga asosan (b, c) = 1, u vaqtda (ab, ac)= a. Lekin ab ko’paytma d ga bo’linadi, ac ham d ga bo’linadi. Demak, ularning EKUBi (ab, as) ham d ga bo’linishi kerak, ya’ni a :d bo’ladi. C:d dan 2-teoremaga aso-san (a, c) ham d ga bo’linadi. Lekin, (a, c)=1, demak, bir so-ni dga bo’linishi kerak, bu esa faqat d=1 bo’lishi mumkin. Shunday qilib, (ab, c)= 1. Shuni isbotlash kerak edi.

8- teorema. Natural sonlarning ikkita