1. Qabariq ko`pyoqlar, muntazam ko`pyoqlar. Qabariq ko`pyoqlar uchun Eyler teoremasi

Ko`pyoqlar uchun eyler teoremasi

Reja:

1. Qabariq ko`pyoqlar, muntazam ko`pyoqlar.
2. Qabariq ko`pyoqlar uchun Eyler teoremasi.
3. Muntazam ko`pyoqlarning mavjudligi va ularning soni.


Ta‘rif. Ko`pyoq sirtining jinsi shu ko`pyoqning jinsi deyiladi.
Ta‘rif. Agar ko`pyoqning chegarasi sodda ko`pyoqli sirtdan iborat bo`lsa, uni sodda ko`pyoq deyiladi.
Sodda ko`pyoq ikki o`lchovli yopiq ko`pxillikdan iborat bo`lib, chegaraviy nuqtalarga ega emas.
Nolinchi jinsli ko`pyoqning sirti sferaga gomeomorfdir. Shuning uchun bunday sirtlar uchun
f<sub>0</sub> - f<sub>1</sub> + f<sub>2</sub>=2
yoki
f<sub>0</sub> + f<sub>2</sub>=2+ f<sub>1</sub> (*)
tenglikni yozamiz.
(*) tenglik mashhur Eyler teoremasini ifodalaydi, yani xar qanday nolinchi jins ko`pyoqda uchlar soni bilan yoqlar sonining yig`indisi qirralar sonidan ikki birlikka ko`pdir.
Ta‘rif. Agar nolinchi ko`pyoqning barcha yoqlari bir xil uchlarga va ko`pyoqli burchaklari bir xil yoqlarga ega bo`lsa, uni topologik muntazam ko`pyoq deyiladi.
Faraz qilaylik Р topologik muntazam ko`pyoq bo`lsin. Uning xar bir yog`i n ta uchga va xar bir uchidagi burchak g ta yoqqa ega bo`lsin.
Р ko`pyoq xar bir qirrasi ikkitadan yoqqa umumiy bo`lib, xar bir yog`ida n ta qirra bo`lgani uchun
nf₁=2f₁ (1)
tenglik o`rinli bo`ladi.
Ko`pyoqning xar bir uchi g ta qirraning umumiy uchidan iborat bo`lgani uchun
gf₀=2f₁ (2)
bo`ladi. (1) va (2) tengliklardan
f<sub>0</sub>=2f<sub>1</sub>/g, f<sub>2</sub>=2f<sub>1</sub>/n (3)
tengliklarni topamiz.
Р muntazam ko`pyoq nolinchi jins ko`pyoqning xususiy xoli bo`lgani uchun unga Eyler teoremasini tadbiq qila olamiz. Shuning uchun (*) va (3) tengliklardan
((2/g)+(2/n) - 1)₁=2 (4)
kelib chiqadi. Bundan
(2/g)+(2/n)>1 (5)
bo`lishi kerak.
Lekin ma‘lumki 3g va 3n bo`lgani uchun (5) tengsizlikdan
(2/g)>1-(2/n)1-(2/3)=(1/3) дан g<6.
Xuddi shuningdek, n<6 ni topamiz.
Shunday qilib, n va g lar 3,4,5 qiymatlarni qabul qilishi mumkin ekan. n va g ning mumkin bo`lgan turli qiymatlarining kombinatsiyasini ko`raylik.
1) n=g=3 bo`lsa, (1),(2),(4) formulalardan f<sub>1</sub>=6, f<sub>0</sub>=4, f<sub>2</sub>=4 ni topamiz. Bu ko`pyoq tetraedrdir.
2) g=3, n=4 бo`лса, f<sub>1</sub>=12, f<sub>0</sub>=8, f<sub>2</sub>=6. Bu ko`pyoq geksaedrdan iborat.
3) g=4, n=3 bo`lsa, f<sub>1</sub>=12, f<sub>0</sub>=6, f<sub>2</sub>=6. Bu ko`pyoq oktaedrdan iborat.
4) g=3, n=5 bo`lsa, f<sub>1</sub>=30, f<sub>0</sub>=20, f<sub>2</sub>=12. Bu ko`pyoq dodekaedrdan iborat.
5) g=5, n=3 bo`lsa, f<sub>1</sub>=30, f<sub>0</sub>=12, f<sub>2</sub>=20. Bu ko`pyok ikosaedrdan iborat.
Yuqorida ko`rib o`tilgan n va g ning qiymatlaridan tashqari barcha kombinatsiyalar (5) tengsizlikka ziddir. Shuning uchun muntazam ko`pyoklarning faqatgina yuqorida ko`rib o`tilgan beshta turi mavjud xolos. Ular topologik ekvivalent bo`lmagan ko`pyoqlardir.
Asosiy adabiyotlar:


1. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М.,Наука,1990.
2. Нарманов А.Я. Дифференциал геометрия. Т. Университет, 2003
3. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.,1974.
4. Нарманов А.Я. ва бошқалар. Умумий топологиядан машқ ва масалалар тўплами. Т.Университет, 1996.
5. Сборник задач по дифференциальной геометрии. Под ред. Феденко А.С. М., 1979.
6.Бакельман И.Я., Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию в целом. М., Наука, 1973.
7. Собиров М.А., Юсупов А.Е. Дифференциал геометрия курси. Т., Ўқитувчи, 1965.