1. Predikatlar hisobida yechilish muammosi. Yechilish muammosi

7-  m i s o l . 

)

(

)

(

)

)

(

)

(

(

x

xQ

x

xP

x

Q

x

P

x

A















  formulaning  umumqiymatliligini 

isbotlaymiz. 

A

  formula  istalgan 

M

  sohada  aniqlangan  deb  hisoblab,  quyidagi  teng  kuchli 

almashtirishlarni bajaramiz: 

















)

(

)

(

)

)

(

)

(

(

x

xQ

x

xP

x

Q

x

P

x

A

 

















)

(

)

(

)

)

(

)

(

(

x

xQ

x

xP

x

Q

x

P

x

 

















)

(

)

(

)

)

(

)

(

(

x

xQ

x

xP

x

Q

x

P

x

 

















)

(

)

(

))

(

)

(

(

x

Q

x

x

xP

x

Q

x

P

x

 

















)

(

)

(

))

(

)

(

(

x

xP

x

Q

x

x

Q

x

P

x

 















)

(

)

)

(

)

(

)

(

(

x

xP

x

Q

x

Q

x

P

x

 













)

(

)

)

(

)

(

(

x

xP

x

Q

x

P

x

 

1

)

(

1

)

(

)

)

(

)

(

(





















x

Q

x

x

Q

x

x

xP

x

xP

, 

ya’ni 

A

  formula  istalgan  sohada  har  qanday 

)

(

x

P

  va 

)

(

x

Q

  bir  joyli  predikatlar  uchun  aynan  chin, 

demak, u umumqiymatli formuladir. ■ 

8- m i s o l . 

))]

(

)

(

(

)

)

(

)

(

[(

x

F

x

F

x

F

x

F

x

A











 formulaning aynan yolg‘on formula 

ekanligini ko‘rsatamiz. 

)

(

)

(

))

(

)

(

(

)

)

(

)

(

(

x

F

x

F

x

F

x

F

x

F

x

F











 o‘rinli va 

)

(

)

(

x

F

x

F



 formula aynan yolg‘on formula bo‘lgani uchun 

)

)

(

)

(

(

x

F

x

F

x

A







 ham 

aynan yolg‘on formuladir.

 

16.

 

Quyidagi formulalarni teng kuchliligini isbotlang: 

 

17.

 

Quyidagi formulalarni teng kuchliligini isbotlang: 

 

---

18.

 

Quyidagi formulalarni teng kuchliligini isbotlang: 

 

 

 

19.

 

Quyidagi formulalarni teng kuchliligini isbotlang: 

 

20.

 

Quyidagi formulalarni teng kuchliligini isbotlang: 

---

 

21.

 

Quyidagi formulalarni teng kuchliligini isbotlang: 

 

22.

 

Quyidagi formulalarni teng kuchliligini isbotlang: 

 

 

---

 

23.

 

Quyidagi formulalarni teng kuchliligini isbotlang: 

 

24.

 

Matematik mulohazalarni predikatlar mantiqi formulasi ko‘rinishida yozish. 

Quyida asosiy matematik tushunchalar – ta’rif va teoremalarni predikatlar mantiqi tili vositasi 

bilan ifodalashni o‘rganamiz. 

Matematikaga  oid  har  qanday  fan  sohasi  shu  fanda  qaralayotgan  obyektlar  haqidagi 

mulohazalar  bilan  ish  ko‘radi.  Mulohazalar  mantiq  va  to‘plamlar  nazariyasining  simvollari  hamda 

berilgan  fanning  maxsus  simvollari  yordamida  predikatlar  mantiqining  formulasi  ko‘rinishida 

ifodalanishi  mumkin.  Predikatlar  mantiqining  tili  matematik  tushunchalar  o‘rtasidagi  munosabatni 

ifodalashga,  ta’rif,  teorema  va  isbotlarni  yozishga  imkoniyat  yaratadi.  Bu  yozishlarni  misollarda 

ko‘raylik. 

Sonlar  ketma-ketligi  limitining  ta’rifi. 

Sonlar  ketma-ketligi  limitining  ta’rifini  quyidagicha 

yozish mumkin: 

)

|

|

(

0

lim

0

0































a

a

n

n

n

n

a

a

n

n

n

N

, 

bu yerda 

)

,

,

(

0

n

n

A



: 

)

|

|

(

0











a

a

n

n

n

 – uch joyli predikat. 

Funksiyaning nuqtadagi limiti ta’rifi. 

Bu ta’rifni ushbu shaklda yozish mumkin: 

)

|

)

(

|

|

|

0

(

0

0

)

(

lim

0

0







































b

x

f

x

x

Ε

x

x

f

b

x

x

, 

bu yerda 

)

,

,

(

x

B





: 

)

)

(

0

(

0

















b

x

f

x

x

 – uch joyli predikat. 

---

Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi ta’rifi. 

E

 to‘plamda aniqlangan 

)

(

x

f

 funksiya uchun 

E

x



0

da 

)

|

)

(

)

(

|

|

(|

0

0

0

0

































x

f

x

f

x

x

x

 

bo‘lsa 

)

(

x

f

 funksiya 

E

x



0

 nuqtada 

uzluksiz

 deb ataladi, bu yerda 

)

,

,

(

x

P





 – uch joyli predikat. 

O‘suvchi funksiyaning ta’rifi. 

E

 to‘plamda aniqlangan 

)

(

x

f

 funksiya uchun 

))

(

)

(

(

2

1

2

1

2

1

x

f

x

f

x

x

Ε

x

Ε

x















 

bo‘lsa 

)

(

x

f

  funksiya 

E

  to‘plamda 

o‘suvchi

  funksiya  bo‘ladi,  bu  yerda 

)

,

(

2

1

x

x

Q

: 

))

(

)

(

(

2

1

2

1

x

f

x

f

x

x







 – ikki joyli predikat. 

Chegaralangan funksiyaning ta’rifi. 

Aniqlanish sohasi 

E

 bo‘lgan 

)

(

x

f

 funksiya uchun 

)

|

)

(

|

(

M

x

f

E

x

R

M













 

bo‘lsa,  u  holda 

)

(

x

f

  funksiya 

E

 

sohada 

chegaralangan

  deb  ataladi,  bu  yerda 

)

,

(

M

x

F

: 

)

|

)

(

(|

M

x

f



 – ikki joyli predikat. 

Ma’lumki, matematikada ko‘p teoremalar shartli mulohazalar shaklida yoziladi, ya’ni «Agar 

x

 

bo‘lsa, u  holda 

y

 bo‘ladi» tarzida ifodalanadi.  Masalan,  «Agar nuqta burchak bissektrisasida  yotgan 

bo‘lsa, u holda u burchak tomonlaridan teng uzoqlashgan (masofada) bo‘ladi». Bu teoremaning sharti 

«Nuqta  burchak  bissektrisasida  yotgan»  va  xulosasi  «Nuqta  burchak  tomonlaridan  teng  uzoqlashgan 

(masofada)» jumlalardan iborat. Ko‘rinib turibdiki, teoremaning sharti ham, xulosasi ham