1§. Parabolaning kanonik tenglamasi Tekislikda biror dekart koordinatalar sistemasida (1)

§-2. Ellips
Ta'rif-3. Ikkinchi tartibli chiziq tenglamasini birorta Oxy dekart koordinata sistemasida
(3)
ko'rinishida yozish mumkin bo'lsa, u ellips deb ataladi. Bu yerda koeffisientlar munosabatni qanoatlantiradi.
Bu tenglamani o'rganish natijasida ellipsni chizamiz va uning xossalarini keltirib chiqaramiz. Tenglamadan ko'rinib turibdiki x,y o'zgaruvchilar ,
tengsizliklarni qanoatlantiradi. Abssissa o'qida yotuvchi F₁(-c,0),
F₂ (c,°) nuqtalar ellipsning fokuslari, tenglamalar bilan aniqlanuvchi
to'g'ri chiziqlar ellipsning direktrisalari deb ataladi. Bu yerda
bo'lib, e soni ellipsning ekssentrisiteti deyiladi. Tenglamadan ko'rinib turibdiki, ellips koordinata o'qlariga nisbatan simmetrik joylashgan bo'lib, koordinata boshi uning simmetriya markazidir.
Ellips xossalari:
1. Ellipsning ixtiyoriy nuqtasidan uning fokuslarigacha bo'lgan masofalar yig'indisi o'zgarmas va 2a ga tengdir.
Bu xossa bevosita hisoblash yordamida tenglikni tekshirish yordamida
isbotlanadi.

Chizma-2.
2. Ellipsning ixtiyoriy nuqtasidan uning fokuslarigacha bo'lgan masofalarning mos direktrisalargacha bo'lgan masofalarga nisbati o'zgarmas va e soniga tengdir.
Bu xossa bevosita tenglikni tekshirish yordamida isbotlanadi.

2. Ellipsning geometrik aniqlanishi.
Tekislikda ikkita nuqta berilgan bo'lsa, bu nuqtalargacha bo'lgan masofalarining yigindisi o'zgarmas songa teng bo'ladigan nuqtalarning geometrik o'rni ellips bo'ladi.
Isbot. Tekislikda F_YF₂nuqtalar berilgan.Biz tekislikning nuqtasidan bu nuqtalargacha bo'lgan masofalarni mos ravishda ko'rinishda belgilab
^r\ + ^r₂ = const = 2a
tenglikni qanoatlantiruvchi nuqtalarinng geometrik o'rnini aniqlashimiz kerak. Berilgan nuqtalar orasidagi masofani 2c bilan belgilasak, tengsizlikdan
a > c munosabat kelib chiqadi. Tekislikda dekart koordinatalar sistemasini quyidagicha kiritamiz. Berilgan F₁ F₂nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziqni abssissa
o'qi sifatida olamiz, unda musbat yo'nalish F₁ nuqtadan F₂ nuqtaga qarab yo'nalgan bo'ladi. Koordinata boshini F_l,F₂nuqtalarning o'rtasiga joylashtirib, ordinata o'qi sifatida abssissa o'qiga perpendikulyar ixtiyoriy o'qni olamiz. Masofalar uchun

ifodalarni yuqoridagi tenglikga qo'yib

tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikning ikkala tomonini kvadratga oshirib, hadlarni ixchamlashtirib va yana bir marta kvadratga oshirib




tenglamani olamiz.