1. O‘rtacha miqdor turlari. Oddiy arifmetik o‘rtacha

---

Mavzu: Tarkibiy o'rtachalarning qo'llanilishi va hisoblash tartibi

Reja: 
1. O‘rtacha miqdor turlari. 
2. Oddiy arifmetik o‘rtacha. 
3. Tortilgan arifmetik o‘rtacha. 
 

---

O‘rtacha miqdor turlari ularni hisoblash tartibi Statistikada 
o‘rtacha miqdorlarning xilma-xil turlari va shakllari mavjud. Chunonchi, 
agregat (nozohir shaklli) o‘rtacha, o‘rtacha arifmetik, o‘rtacha 
geometrik, o‘rtacha garmonik o‘rtacha kvadratik, o‘rtacha kubik, 
o‘rtacha xronologik va h.k. shular jumlasidandir. Bular bilan bir qatorda 
taqsimot qatorlarida o‘rtachaga o‘xshash funksiyani bajaruvchi o‘rta 
miqdorlar (varianta qiymatlari) ham bor. Bular moda, mediana va turli 
kvantililardan tarkib topadi. Ular qatorning tartibli yoki davriy o‘rta 
hadlari (miqdorlari) deb ataladi. 
O‘rtacha miqdorlarning u yoki bu turi va shaklini qo‘llash tekshirishda 
ko‘zlangan maqsad va vazifalarga o‘rganilayotgan jarayon va hodisa 
xususiyatlariga hamda muayyan sharoitda qo‘limizda bo‘lgan 
ma’lumotlar xarakteriga bog‘liq. 
Arifmetik o‘rtacha miqdorlar 
Arifmetik o‘rtacha deb shunday ilmiy qoidaga asoslangan o‘rtachaga u 
bilan belgining ayrim qiymatlarini almashtirilsa, ularning umumiy 
yig‘indisi o‘zgarmasligi va to‘plam birliklari soniga nisbatan 
proporsional taqsimlanishi zarur. 
Arifmetik o‘rtacha miqdor o‘rtachalarning eng sodda va amaliyotda juda 
keng qo‘llanadigan turidir. U o‘rganilayotgan belgi to‘plam birliklarida 
ega bo‘ladigan ayrim miqdoriy qiymatlarini qo‘shishdan olinadigan 
umumiy hosilaga (yig‘indiga) hamda birliklar soniga asoslanadi. Agarda 
o‘rtacha arifmetik miqdorni variatsion qator nuqtai nazaridan qarasak u 
qator variantasining shunday o‘rtacha qiymatiki, uni hisoblashda 
variantalar qiymatlarining umumiy yig‘indisi o‘zgarmas miqdor deb 
qaraladi va variantlar soniga nisbatan proporsional taqsimlangan deb 

---

talqin etiladi. Shu sababli o‘rtacha arifmetik miqdorning taqsimot 
qatoridagi o‘rni ayrim varianta qiymatlari undan teng ikki yoqlama 
tafovutda bo‘lishi bilan belgilanadi. 
O‘rtacha arifmetik miqdor oddiy va tortilgan shakllarga ega. 
O'rtacha qiymat - bu hodisaning tipik darajasini tavsiflovchi 
umumlashtiruvchi ko'rsatkichdir. Bu aholi birligiga to'g'ri keladigan 
xususiyat qiymatini ifodalaydi. 
O'rtacha har doim belgining miqdoriy o'zgarishini umumlashtiradi ya'ni. 
o'rtacha qiymatlarda tasodifiy holatlar tufayli populyatsiya birliklarining 
individual 
farqlari 
o'chiriladi. 
O'rtachadan 
farqli 
o'laroq, 
populyatsiyaning alohida birligining belgisi darajasini tavsiflovchi 
mutlaq qiymat turli populyatsiyalarga tegishli birliklarda belgi 
qiymatlarini solishtirishga imkon bermaydi. Demak, agar ikkita korxona 
ishchilarining ish haqi darajasini solishtirish zarur bo'lsa, unda bu asosda 
turli korxonalarning ikkita ishchisini solishtirish mumkin emas. 
Taqqoslash uchun tanlangan ishchilarning ish haqi ushbu korxonalar 
uchun xos bo'lmasligi mumkin. Agar ko'rib chiqilayotgan korxonalarda 
ish haqi fondlari hajmini solishtiradigan bo'lsak, unda xodimlar soni 
hisobga olinmaydi va shuning uchun ish haqi darajasi qayerda yuqori 
ekanligini aniqlash mumkin emas. Oxir-oqibat, faqat o'rtacha 
ko'rsatkichlarni solishtirish mumkin sonli-va- ya'ni. har bir korxonada 
bir 
ishchi 
o'rtacha 
qancha 
oladi. 
Shunday 
qilib, 
aholining 
umumlashtiruvchi xarakteristikasi sifatida o'rtachani hisoblash kerak 
bo'ladi. O'rtachani hisoblash umumiy umumlashtirish usullaridan biridir 
o'rtacha o'rganilayotgan aholining barcha birliklari uchun tipik (tipik) 
bo'lgan umumiy narsani inkor etadi, shu bilan birga u alohida 

---

birliklarning farqlarini e'tiborsiz qoldiradi. Har bir hodisa va uning 
rivojlanishida tasodif va zarurat uyg'unligi mavjud. O'rtachalarni 
hisoblashda katta sonlar qonunining ta'siri tufayli, imkoniyatlar bekor 
qilinadi va muvozanatlanadi, shuning uchun hodisaning ahamiyatsiz 
xususiyatlaridan, har bir aniq holatda atributning miqdoriy qiymatlaridan 
mavhum 
bo'lish 
mumkin. 
Agregatlarning 
umumlashtiruvchi 
xarakteristikalari sifatida individual qiymatlarning tasodifiyligidan, 
tebranishlardan 
va 
yolg'ondan 
o'rtachalarning 
ilmiy 
qiymatini 
mavhumlash qobiliyati. 
O'rtacha ko'rsatkichni chinakam tiplashtirish uchun uni ma'lum 
tamoyillar asosida hisoblash kerak. 
Keling, 
o'rtacha 
qiymatlardan 
foydalanishning 
ba'zi 
umumiy 
tamoyillariga to'xtalib o'tamiz. 
1. Sifat jihatidan bir hil birliklardan tashkil topgan populyatsiyalar uchun 
o'rtachani aniqlash kerak. 
2. O'rtacha ko'rsatkichni etarli darajada ko'p sonli birliklardan tashkil 
topgan populyatsiya uchun hisoblash kerak. 
3. O'rtacha birliklari normal tabiiy holatda bo'lgan aholi uchun 
hisoblanishi kerak. 
4. O'rtacha o'rganilayotgan ko'rsatkichning iqtisodiy mazmunini hisobga 
olgan holda hisoblanishi kerak.
O'rtacha ko'rsatkichlar turlari va ularni hisoblash usullari Keling, 
o'rtacha ko'rsatkichlarning turlarini, ularni hisoblash xususiyatlari va 
qo'llanilishini ko'rib chiqaylik. O'rtachalar ikkita katta sinfga bo'linadi: 
quvvat o'rtachalari, tizimli o'rtachalar. 

---

TO kuch degani geometrik o'rtacha, arifmetik o'rtacha va ildiz o'rtacha 
kvadrat kabi eng mashhur va tez-tez ishlatiladigan turlarni o'z ichiga 
oladi. 
Sifatda tizimli o'rtacha ko'rsatkichlar moda va median hisobga olinadi. 
Keling, o'rtacha quvvatlar haqida to'xtalib o'tamiz. Quvvatning o'rtacha 
ko'rsatkichlari, dastlabki ma'lumotlarning taqdimotiga qarab, oddiy va 
vaznli bo'lishi mumkin. Oddiy o'rtacha guruhlanmagan ma'lumotlar 
asosida hisoblanadi va quyidagi umumiy shaklga ega: 
bu erda X i - o'rtachalashtirilgan xususiyatning variantlari (qiymati); 
n - variantlar soni. 
O'rtacha vaznli guruhlangan ma’lumotlardan hisoblanadi va umumiy 
shaklga ega. bu erda X i - o'rtacha olingan xususiyatning varianti 
(qiymati) yoki variant o'lchanadigan intervalning o'rta qiymati; 
m - o'rtacha daraja ko'rsatkichi; 
f i - o'rtachalashtirilgan xususiyatning i-e qiymati necha marta sodir 
bo'lishini ko'rsatadigan chastota. 
Misol tariqasida 20 kishilik guruhdagi o‘quvchilarning o‘rtacha yoshini 
hisoblashni keltiramiz: 
O'rtacha yosh oddiy o'rtacha formula yordamida hisoblanadi: 
Keling, asl ma'lumotlarni guruhlashtiramiz. Biz quyidagi tarqatish 
seriyasini olamiz: 
Guruhlashtirish natijasida biz yangi ko'rsatkich - X yoshdagi o'quvchilar 
sonini ko'rsatadigan chastotani olamiz. Shunday qilib, guruh 
talabalarining o'rtacha yoshi o'rtacha vaznli formuladan foydalanib 
hisoblanadi: 

---

O'rtacha quvvatni hisoblash uchun umumiy formulalar eksponentga (m) 
ega. Qaysi qiymatga qarab, o'rtacha quvvatning quyidagi turlari 
ajratiladi: 
o'rtacha harmonik; 
geometrik o'rtacha, agar m -> 0 bo'lsa; 
arifmetik o'rtacha, agar m = 1 bo'lsa; 
ildiz-o'rtacha kvadrat, agar m = 2 bo'lsa; 
o'rtacha kub, agar m = 3 bo'lsa. 
Quvvat qonuni formulalari jadvalda keltirilgan. 4.4. 
Agar biz bir xil dastlabki ma'lumotlar uchun barcha turdagi o'rtacha 
qiymatlarni hisoblasak, ularning qiymatlari teng bo'lmaydi. Bu erda 
o'rtacha kattalik qoidasi qo'llaniladi: m ko'rsatkichining oshishi bilan 
mos keladigan o'rtacha qiymat ham ortadi: 
Statistik amaliyotda o'rtacha og'irlikning boshqa turlariga qaraganda tez-
tez o'rtacha arifmetik va garmonik vaznli o'rtacha ko'rsatkichlar 
qo'llaniladi.