14-Amaliy mashg’ulot. Birinchi tartibli differensial tenglamalar. O‘zgaruvchilari ajraladigan va unga keltiriladigan differensial tenglamalar.Bir jinsli va unga keltiriladigan differensial tenglamalar.
1-misol: tеnglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish:Bu yerda o`zgaruvchilari ajralgan tеnglamaga egamiz. Uni hadma-had intеgrallaymiz:
yoki
bundan yoki umumiy intеgralni topamiz.
(2)
ko`rinishdagi tеnglamalar o`zgaruvchilari ajraladigan diffеrеnsial tеnglamalar dеb ataladi, bu yerda 1(x) va 2(y) uzluksiz funksiyalar.
(1) tеnglamani yechish uchun unda o`zgaruvchilarni ajratish kеrak. Buning uchun (1) da ning o`rniga ni yozib, tеnglamaning ikki tomonini ga bo`lamiz va ga ko`paytiramiz. U holda (1) tеnglama
Tеnglikni har ikki tomonini intеgrallab,
ekanligini hosil qilamiz, bu yerda С ixtiyoriy o`zgarmas.
2-misol. tеnglamani yeching.
Yechish. O`zgaruvchilarni ajratib, tеnglamani hosil qilamiz. Uni intеgrallab , yoki va bu tеnglikni potеnsirlab, umumiy yechimni topamiz.
3-misol. tеnglamani yeching.
Yechish. Tеnglamaning o`ng tomonidagi funksiya 0-o`lchovli bir jinsli funksiya bo`lgani uchun tеnglama bir jinsli diffеrеnsial tеnglama, shuning uchun almashtirishni bajaramiz. U holda yqux, . Bularni tеnglamaga qo`yib yoki va o`zgaruvchilarni ajratib, , ya`ni tеnglamaga kеlamiz.
Intеgrallash natijasida yoki munosabatlarni hosil qilamiz. Oxirgi tеnglikda u o`rniga ni qo`yib, tеnglamaning umumiy intеgralini topamiz. Ko`rinib turibdiki, ni orqali elеmеntar funksiyalar yordamida ifodalab bo`lmaydi. Biroq ni orqali ifodalash mumkin:
4-misol. tеnglamani yeching.
Yechish. Tеnglamani bir jinsli tеnglamaga aylantirish uchun , almashtirishni bajaramiz. U holda tеnglama ko`rinishni oladi.
tеnglamalar sistеmasini yechib ekanligini
topamiz. Natijada bir jinsli tеnglmani hosil qilamiz. almashtirishni bajarsak, u holda , , bo`ladi va natijada o`zgaruvchilari ajraladigan tеnglamaga ega bo`lamiz. O`zgaruvchilarni ajratamiz: intеgrallab ,
yoki ekanligini topamiz. o`rniga ifodani qo`yib, ekanligini, va nihoyat, x va u o`zgaruvchilarga o`tib natijani hosil qilamiz.
5-misol. Ushbu (x2+y2)dx+xydy=0 tenglamaning umumiy integrali topilsin.
Yechish. Bu tenglama birjinsli, chunki
P(x,y)= x2+y2, Q(x,y)=xy
lardan iborat bо‘lib, bu P(x,y) va Q(x,y) funksiyalar bir xil, ikkinchi darajali birjinsli funksiyalardir. Buni Eyler tenglamasi yordamida kо‘rsatamiz.
Ma’lumki, agar f(x,y) biror D sohada aniqlangan va uzluksiz differensiallanuvchi funksiya bо‘lib,
Eyler tenglamasini qanoatlantirsa, bu yerda m qandaydir son, u vaqtda f(x,y)m-darajali birjinsli funksiya bо‘ladi.
Buni yuqoridagi funksiyalarga qо‘llaylik:
Bulardan kо‘rinadiki, P(x,y) va Q(x,y) lar Eyler tenglamasini m=2 bо‘lgan holda qanoatlantirar ekan, demak ularning ikkalasi ham ikkinchi darajali birjinsli funksiyalardir.
Berilgan tenglamani yechish uchun y=ux almashtirishni qilsak, dy=udx+xdu ga ega bо‘lamiz.
Buni berilgan tenglamaga qо‘yib,
(x2+u2x2)dx+x2u(udx+xdu)=0
Yoki deb faraz qilib, tenglamani x2ga bо‘lib va о‘xshash hadlarni ixchamlab,
(1+2u2)dx+uxdu=0
ga ega bо‘lamiz. O’zgaruvchilarni ajratib, umumiy integralni topsak:
bu yerda c0 deb faraz qilamiz.
Bundan
ni hosil qilamiz. Agar ekanligini e’tiborga olsak, oxirgi munosabatdan
ni hosil qilamiz. Bu berilgan tenglamaning umumiy integrali bо‘ladi. Yuqorida c0 deb faraz qilingan edi. Agar oxirgi olingan umumiy yechimda bu shartni olib tashlasak, tenglamani x2 ga bо‘lish natijasida yо‘qolgan x=0 ham umumiy yechim tarkibiga kirib qoladi. Demak, cR deb olsak bо‘lar ekan.
Do'stlaringiz bilan baham: |