1-mavzu. Natural sonlar va ular ustida amallar. Tub va murakkab sonlar. Sonlarning bo‘linish alomatlari. Natural sonlar va ular ustida amallar

I s b o t: a₁– murakkab son, q₁ esa uning eng kichik tub bo‘luvchisi bo‘lsin. a₁ ni q₁ ga bo‘lamiz: a₁ = q₁ . a₂ (a₂< a₁).

Agar a₂ tub son bo‘lsa, a₁ son tub ko‘paytuvchilarga yoyilgan bo‘ladi. Aks holda, a₂ ni o‘zining eng kichik tub bo‘luvchisi q₂ ga bo‘lamiz: a₂=q₂.a₃ (a₃ < a₂).

Agar a₃ tub son bo‘lsa, a₁ = q₁ . q₂ . a₃ bo‘ladi. q₁, q₂, a₃ sonlari tub sonlar bo‘lgani uchun, a₁ soni tub ko‘paytuvchilarga yoyilgan bo‘ladi. Agar a₃ murakkab son bo‘lsa, yuqoridagi jarayon davom ettiriladi.

a₁ > a₂ > a₃ > . . . ekanligidan ko‘rinadiki, bir necha qadamdan so‘ng albatta a_n tub soni hosil bo‘ladi va a₁ soni a₁ = q₁ . q₂ . ... . a_n shaklni oladi. Demak, har qanday natural son tub ko‘paytuvchilarga yoyiladi.

a soni ikki xil ko‘rinishdagi tub ko‘paytuvchilar yoyilmasiga ega bo‘ladi, deb faraz qilaylik: a = p₁ . p₂ . ... . p_k, a = q₁ . q₂ . ... . q_n. U holda q₁ . q₂ . ... . q_n = p₁ . p₂ . ... . p_k. tenglikning ikki tomonida hech bo‘lmaganda bittadan tub son topiladiki, u sonlar bir-biriga teng bo‘ladi. p₁ = q₁ deb faraz qilaylik. Tenglikning ikkala tomonini p₁ = q₁ ga qisqartirsak q₂ . ... . q_n = p₂ . ... . p_k bo‘ladi. Bu tenglik ustida ham yuqoridagidak mulohaza yuritsak,

q₃ . ... . q_n = p₃ . ... . p_k bo‘ladi va hokazo. Bu jarayonni davom ettirsak, n - 1 qadamdan so‘ng 1 = p_{n +1} . ... . p_k tenglikni olamiz. Bundan p_{n +1} = 1, ..., p_k = 1 ekanligi kelib chiqadi. Demak, yoyilma yagona ekan.

Natural sonning tub bo‘luvchilari orasida bir xillari uchrasa ular ko‘paytmasini daraja shaklida ifodalash qulay bo‘ladi, ya’ni (1). Bu yerda p₁,p₂,…,p_n-turli tub sonlar, k₁,k₂,…,k_n-natural sonlar. Bu yoyilma kanonik shakl yoki natural sonni tub ko‘paytuvchilarga yoyish formulasi deyiladi.