1-mavzu. Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar. Determinantni hisoblash usullari n-tartibli determinant va uni hisoblash

1-mavzu. Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar. Determinantni hisoblash usullari. n-tartibli determinant va uni hisoblash.

Ixtiyoriy o‘lchovli kvadrat matritsa

ning elementlaridan tuzilgan ushbu

ifoda ( matritsa kabi ta yo‘l va ta ustunga ega bo‘lgan ifoda) matritsaning -tartibli determinanti deyiladi va (yoki , yoki kabi belgilanadi:
.
Matritsa elementi determinantning ham elementi deyiladi.
Masalan, bo‘lganda
bo‘lib,
bo‘lganda

bo‘lib,
; (1)
bo‘lganda

bo‘lib,
(2)
bo‘ladi.
Odatda (1) va (2) mos ravishda ikkinchi va uchunchi tartibli determinantlar deyiladi.
Demak, determinantlar sonlarni ifodalaydi.
Determinantlar quyidagi xossalarga ega:

1. 
   Determinantning biror yo‘li (ustuni) faqat nollardan iborat bo‘lsa, determinantning qiymati nolga teng bo‘ladi;
   
2. 
   Agar determinantning ikki yo‘li (ikki ustuni) dagi elementlari proporsional bo‘lsa, determinantning qiymati 0 ga teng bo‘ladi;
   
3. 
   Agar determinantning biror yo‘li (ustuni) biror o‘zgarmas songa ko‘paytirilsa, determinantning qiymati ham ga ko‘payadi:
   
4. 
   Agar determinantning ikki yo‘li (ikki ustuni) o‘rinlarini almashtirilsa, determinant ishorasini o‘zgartiradi.
   
5. 
   Agar determinantning bir yo‘lini (ustunini) o‘zgarmas songa ko‘paytirib, uni boshqa yo‘liga (ustuniga) qo‘shilsa, determinantning qiymati o‘zgarmaydi:
   

Faraz qilaylik, biror

uchinchi tartibli determinant berilgan bo‘lsin. Bu determinantning biror elementini olib, shu element joylashgan yo‘lni hamda ustunni o‘chiramiz. Ravshanki, qolgan elementlari ikkinchi tartibli determinantni hosil qiladi. Bu determinantga elementning minori deyiladi va u kabi belgilanadi.
Ushbu

miqdor elementning algebraik to‘ldiruvchisi deyiladi.
Teorema.Determinantning biror yo‘lida joylashgan barcha elementlarning ularga mos algebraik to‘ldiruvchilari bilan ko‘paytmasidan tashkil topgan yig‘indi shu determinantning qiymatiga teng bo‘ladi.
Iikkinchi tartibli determinant, ta’rifga ko‘ra

bo‘ladi.
Uchinchi tartibli determinant, ta’rifga ko‘ra

bo‘ladi. Bu tenglikda qatnashgan ikkinchi tartibli determinantlarni hisoblab topamiz:

Demak, uchinchi tartibli determinant 6 ta had yig‘indisidan iborat bo‘lib, ularning uchtasi musbat ishorali, uchtasi manfiy ishorali bo‘ladi.
Musbat va manfiy ishorali hadlarni yozishda quyidagi tasvirlangan sxemalardan foydalanish qulay bo‘ladi,
.
Agar uchinchi tartibli determinantni quyidagi ko‘rinishda yozib olsak

• 
  
  

determinantning qiymatini Sarryus usuli deb ataluvchi usul bilan xam xisoblash mumkin;