1-mavzu: chekli elementlar usulining asosiy tushunchalari

5-MAVZU: CHIZIQLI ALGEBRA MASALALARINI ITERATSION USUL BILAN YECHISH ALGORITMLARI.

Reja:

• SciPy paketi linalg moduli.
• Klassik iteratsion usullar.
• Ikki qatlamli iteratsion usul.
• Variatsion turdagi iteratsion usul.

linalg moduli matritsalar va vektorlar normalarini hisoblash, matritsalarni teskarisini topish va yoyilmaga ajratish, chiziqli tenglamalar sistemasini yechish funksiyalarini o'z ichiga oladi, sizga xos qiymatlar va xos vektorlarni topish va matritsa funksiyalarini hisoblash imkonini beradi. Ilmiy hisoblashda ayniqsa muhim bo'lgan siyrak matritsalar bilan chiziqli algebra masalalarini yechish uchun sparse.linalg moduli mo'ljallangan.
det() funksiyasi - Matritsaning determinantini hisoblash
norm() funksiyasi - matritsa yoki vektor normasini topish uchun mo'ljallangan.
solve() funksiyasi – tenglamalar sistemasi yechimini topish
sol_banded() funksiyasi - lentasimon matritsali tenglamalar sistemasini yechish uchun mo‘ljallangan.
lu() funksiyasi - A=PLU umumiy ko`paytuvchilarga ajratish
Bu yerda L - diagonal hadlari birga teng bo'lgan quyi uchburchakli matritsa, U - yuqori uchburchakli matritsa, P - almashtirish matritsasi.
Boshqa LU yoyilma xususiyatlari lu_factor(), lu_solve() funksiyalarida amalga oshiriladi.
Boshqa turdagi matritsa yoyilmalari uchun ham funksiyalar mavjud:
• Xoleskiy yoyilma – cholesky(), cholesky_banded(), cho_factor(), cho_solve() funksiyalari;
• QR yoyilma – qr() funksiyasi;
• singulyar (SVD) yoyilma –svd(), svdvals(), diagsvd() funksiyalari;
• Shura yoyilmasi – schur(), rsf2csf() funksiyalari.
lstsq() funksiyasi – chiziqli tenglamalar sistemasini eng kichik kvadratlar usuli bilan yechishga mo`ljallangan
pinv() yoki pinv2()
eigvals() funksiyasi matritsaning xos qiymatlarini hisoblash, eig() funksiyasi xos qiymatlarni ham, xos funksiyalarni ham topish uchun ishlatiladi. Pythonda matritsalarning maxsus sinflari uchun spektral masalalarni yechish algoritmlari ham amalga oshirilgan: kompleks Ermit va haqiqiy simmetrik matritsalar uchun eigvalsh() va eigh() funksiyalari, lentasimon matritsalar uchun eigvals_banded() va eig_banded() funksiyalari.
Matritsali eksponenta
hisoblash uchun uchta funksiyadan foydalaniladi: expm() - Pade approksimatsiyalash, expm2() - spektral yoyilma, expm3() - Teylor qatori.
Logarifmni hisoblash uchun logm() funksiyasi mavjud. Matritsali sinus, kosinus va tangens (sinm(), cosm() va tanm() funksiyalari), giperbolik sinus, kosinus va tangens (sinhm(), coshm() va tanhm() funksiyalari) ham amalga oshiriladi. Matritsa sgn (sign) funksiyasini hisoblash uchun signm() dan foydalaniladi, kvadrat ildiz sqrtm(). Har qanday Python funktsiyasi bilan bog'langan matritsa funktsiyalarini (funm() yordamida) hisoblash imkoniyatiga ham ta’kidlash kerak.
Chiziqli algebra hisoblash algoritmlarini to'liq qo'llab-quvvatlash uchun chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning iterativ usullarini qo'shish mumkin. Tegishli funksiyalarni siyrak matritsani yechish moduli sparse.linalgda topish mumkin (ular avval linalg modulida edi).
sparse.linalg moduli qo`shma gradient usulidan (cg() funksiyasi) tashqari, chiziqli tenglamalar sistemasini yechish uchun boshqa iterativ usullarni o'z ichiga oladi:
• cgs() – kvadratik qo`shma gradient usuli;
• qmr() – kvaziminimal xatoliklar usuli;
• gmres() – minimal farqlarning umumlashtirilgan usuli;
• bicg() – biqo`shma gradient usuli;
• bicgstab() – stabilizatsiya bilan biqo`shma gradient usuli.
Bu iterativ usullar ham toʻliq, ham siyrak matritsalar bilan bogʻliq masalalarni yechishda qoʻllaniladi.