1-Mavzu: Bo‘linish belgilari. Sonlarning umumiy bo‘luvchisi va karralisi. Mavzu rejasi

Sonlarning umumiy bo‘luvchisi va karralisi.
Teorema. Ixtiyoriy a butun son, b natural sonlar uchun shunday yagona q butun son va yagona manfiymas r butun son topiladiki, natijada ushbu
a=bq+r (1)
0  r
munosabatlar o`rinli bo`ladi.
Ta’rif. Agar a=bq+r tenglikda r0 bo`lsa, u holda r ga qoldiq, q ga to`liqsiz bo`linma deyiladi.
Ta’rif. a va b butun sonlarning ikkisini ham bo`ladigan son shu sonlarning umumiy bo`luvchisi deyiladi.
Ta’rif. a va b natural sonlar umumiy bo`luvchilarining eng kattasiga shu sonlarning eng katta umumiy bo`luvchisi (EKUB) deyiladi va uni (a; b) ko`rinishda belgilanadi.
Ta’rif. Agar (a; b)=1 bo`lsa, u holda a va b natural sonlar o`zaro tub sonlar deyiladi.
Agar A to`plam. aN sonning bo`luvchilari to`plami, V to`plam bN sonning bo`luvchilari to`plami bo`lsa, u holda Da,b=AV bo`ladi.
Teorema. (a:b)=> (a;b)= b.
Natija. (a; b) = d bo`lsa, u holda shunday u va v butun sonlar topiladiki, ular uchun au+bv=d tenglik bajariladi.
Ta’rif. a1, a2, ..., an butun sonlarning barchasini bo`ladigan son shu sonlarning umumiy bo`luvchisi deyiladi.
a1, a2, ..., an butun sonlarning umumiy bo`luvchilari bir nechta bo`lishi mumkin. Ularning eng kattasiga a1,a2,...,an sonlarning EKUB deyiladi va uni (a1, a2, ..., an) ko`rinishida belgilanadi.
Faraz qilaylik a son b ga bo`linmasin. U holda a ni b ga qoldiqli bo`lamiz va quyidagi sistemani hosil qilamiz:
a=bq₁+r₁ (0₁
b=r₁q₂+r₂ (0₂₁),
r₁=r₂q₃+r₃ (0₃₂),
- - - - - - - - - - - - - - (1)
r_n-2=r_n-1q_n+r_n (0_nn-1),
r_n-1=r_nq_n+1 .
Bu sistemada r_nn-1n-2<...₂₁
Haqiqatan,
a=bq₁+r₁=>(a;b)=(b, r₁),
b=r₁q₂+r₂=>(b;r₁)=(r₁;r₂),
r₁=r₂q₃+r₃=>(r₁;r₂)=(r₂;r₃), (2)
- - - - - - - - - - - - - - -- -
r_n-2=r_n-1q_n+r_n=>(r_n-2;r_n-1)=(r_n-1;r_n),
r_n-1=r_nq_n+1=>(r_n-1;r_n)=r_n


bo`lib, (2) dan (a;b)=(b;r1)=(r1;r2)=...=(rn-1;rn)=rn, ya’ni (a;b)=rn kelib chiqadi.
Teorema. d son a va b sonlarning EKUB bo`lishi uchun d umumiy bo`luvchi a va b sonlarning har qanday umumiy bo`luvchisiga bo`linishi zarur va yetarli.
Teorema. Agar (a1,a2,...an,)=d bo`lib, (a1,a2,)=d2, (d2,a3)=d3, ...,(dn-1;an)=dn bo`lsa , u holda dn=d bo`ladi.
Ta’rif. Agar k son a1,a2,...,an sonlarga bo`linsa, u holda k son a1,a2,...,an sonlarning umumiy bo`linuvchisi (karralisi) deyiladi.
k sonning umumiy bo`linuvchilari cheksiz ko`p bo`lishi mumkin. Ularning ichida eng kichigi eng kichik umumiy bo`linuvchi (EKUK) deyiladi va uni [a1,a2, ..., an] ko`rinishda belgilanadi.
Teorema. a1,a2,...,an sonlarning umumiy bo`linuvchisi bo`lgan m soni bu sonlarning EKUK bo`lishi uchun bu sonlarning har qanday umumiy bo`linuvchisining m ga bo`linishi zarur va yetarli.
Teorema. a va b natural sonlar bo`lganda [a;b]= tenglik o`rinli.
Agar [a1a2,...,an]=m bo`lib, [a1;a2]=m2,[m2;a2]=m3,...,[mn-1; an]=mn bo`lsa, u holda mn=m bo`ladi.
Tаkrоrlаsh uchun sаvоllаr:

1. 
   Qoldiqli bo`lish haqidagi teoremani bayon eting?
   
2. 
   Ikkita soning EKUB deb nimaga aytiladi?
   
3. 
   n ta sonning EKUB qanday topiladi?
   
4. 
   Ikkita sonning EKUK deb nimaga aytiladi?
   
5. 
   n ta sonning EKUK qanday topiladi?
   

Evklid algaritimini tushuntirib bering