1-Maruza Mavzu: Kirish. Xatoliklar nazariyasi

modelь→algoritm→dastur→kompьyuter→natija.
Amaliy masala bu biror voqea, jarayondir. Masalaning matematik modeli bu amaliy masalani matematik munosabatlar bilan bayon etib, tipik matematik masala sinfiga keltirishdir. Sinfdan echimi aniq masala tanlanib, masalani echish uchun algoritm tanlanadi. Algoritm asosida kompьyuter uchun dastur tuziladi. Dastur kompьyuterda ishga tushirilib natija olinadi. Natija mavjud echim yoki ma’lumotlar bilan solishtiriladi, ular mos bo‘lsa algoritm ham modelь ham qanoatlanarli deb topiladi.Aks holda amaliy masala yana tekshirilib modelga tuzatishlar kiritiladi va hokazo. Bu jarayon echim etarli aniqlik bilan topilguncha davom etadi.
Hisoblash eksperimenti amaliy masalani echishda nazariy matematika, hisoblash usullari, algoritmlar nazariyasi, dasturlash, EHMning o‘rnini yaqqol tasvirlaydi.
2. Matematik masalani echishda turli xil usullar ishlatilishi mumkin. Agar mumkin bo‘lsa aniq usullar, mumkin bo‘lmasa taqribiy usullar ishlatiladi. Sonli usullar (hisoblash usullari) masala echishning eng kuchli vositalaridan biri hisoblanadi. Sodda hisoblash usullaridan biz ko‘p foydalanamiz. Masalan, kvadrat ildiz chiqarish. SHunday masalalar borki, murakkab hisoblashlarni talab qiladi: ob-havoni bashorat qilish, kosmik kema harakati, ko‘p yillik rejalarni yaratish . Ko‘p hollarda hisoblashlarni tez bajarishga to‘g‘ri keladi. Masalan, sutkalik ob-havo bashorati bir necha soatda hisoblanishi kerak, kosmik kema traektoriyasi bir necha minutda hisoblanishi kerak va hokazo. Zamonaviy hisoblash usullari va EHM lar bunday imkoniyatlarga ega. Hisoblash usullari masalani echish uchun algoritm beradi. Algoritm asosida kompьyuter uchun dastur tuziladi.
Algoritmni asoslash masalani to‘g‘ri echish uchun asos hisoblanadi. Lekin algoritmning bahosini amaliy hisoblashlar bajargandan keyin beriladi. Bir narsaga e’tibor berish kerak. Kompьyuter bilan ishlayotgan foydalanuvchi o‘z algoritmi, dasturini sinchiklab tekshirib chiqishi kerak. Aks holda Piter aytgandek: “Kompьyuter hisoblovchining nochorligini ko‘p martaga oshiradi”, degan hodisa ro‘y berishi mumkin.
3.Murakkab masalalarni echish uchun, algoritmlar yaratish bilan shug‘ullanuvchi matematikaning bo‘limini amaliy matematika deyiladi. Amaliy matematikaning asosiy masalasi echimni berilgan aniqlik bilan topishdir. Klassik matematika echimning mavjudligi, yagonaligi, xossalarini aniqlash bilan shug‘ullanadi.
Amaliy matematika tarixini uch davrga bo‘lish mumkin. Birinchi davr eramizdan 3-4 ming yil oldin boshlangan. Bu davrda yuza, hajmlar, sodda mexanizmlar hisoblangan. Ikkinchi davr I.Nьyutondan (1642-1723 y.y.) boshlangan. Bu davrda astranomiya masalalari, oddiy differensial tenglamalarga, chiziqli tenglamalar sistemasiga olib keluvchi masalalari echila boshlandi. Harbiy masalalar odam bajarishi qiyin bo‘lgan masalalarni echishga undaydi. Uchinchi davr-kompьyuterlar davri-20 asrning 60 yilllaridan boshlanadi. Bu davrda hususiy hosilali differensial tenglamalar, nochiziq tenglamalar va ularning sistemalarini echish usullari paydo bo‘ldi.
4. -aniq son, uning taqribiy qiymati bo‘lsa, ayirma -taqribiy son xatosi, -taqribiy son ning absolyut xatosi deyiladi. Har qanday son taqribiy sonning chegaraviy absolyut xatosi deyiladi. miqdor esa taqribiy sonning nisbiy xatosi deyiladi. bo‘lgani uchun amalda deb olinadi.Har qanday son a taqribiy sonning chegaraviy nisbiy xatosi deyiladi. Demak, ekanligidan Absolyut va nisbiy xato yordamida aniq son ko‘rinishida yoziladi.
miqdorlar biror normalangan X fazoning elementlari bo‘lsa, u holda yuqoridagi ta’riflar quyidagicha o‘zgaradi:

Misol 1. ,
Agar bo‘lsa kami bilan, agar bo‘lsa ko‘pi bilan taqribiy son olinadi.Masalan, uchun, kami bilan, ko‘pi bilan olinmoqda.
Misol 2. son aniqlik bilan yaxlitlansin. Javob, .chunki, .
Misol 3. integral trapetsiyalar formulasi bilan almashtirilsin:

Keyinchalik ko‘ramizki,
Misol 4. funksiya kesmada ta uzluksiz hosilalarga ega bo‘lsin va nuqtalarda - darajali Lagranj ko‘pxadi bilan ustma-ust tushsin:
,
U holda | normada quyidagi bahoni olamiz:
.
Misol 5. Umumiy ko‘rinishda berilgan differensial tenglama aniq echimi ning jadvali ushbu chekli ayirmali sxema echimi bilan almashtiriladi. Unda xatolik sifatida miqdor olinadi va u normada baholanadi, .
YAxlitlash xatosi. ,biror m+n+1 xonali haqiqiy son bo‘lsin. Sonning o‘nli yozuvidagi har qanday 0 dan farqli raqami muhim raqam deyiladi. Ikkita muhim raqamlar orasidagi nollar ham muhim deyiladi, muhim raqam keyinadagi nolь ham muhim raqam deyiladi. Nolga teng bo‘lmagan raqamlar oldidagi nollar muhim bo‘lmaydi. Agar shu yozuvda sonning absolyut xatosi verguldan keyingi n – raqamining bir birligidan oshmasa, (n – raqamining bir birligining yarmidan oshmasa) keng ma’noda m+n+1ta ishonchli raqamlarga ega deyiladi (tor ma’noda m+n+1ta ishonchli raqamlarga ega deyiladi).
Taqribiy son shunday yoziladiki, unda ishonchli raqamlar saqlanadi. Sonni biror raqamining 1 birligigacha aniqlik bilan yaxlitlash (keng ma’noda ishonchli raqamlar saqlash ) uchun shu raqamni o‘ng tamondagi barcha raqamlar o‘chiriladi. Natijada vujudga kelgan son o‘chirilmay qolgan raqamning 1 birligidan oshmaydi.
Sonni biror raqamining 1 birligining yarmigacha aniqlik bilan yaxlitlash (tor ma’noda ishonchli raqamlar saqlash) uchun shu raqamdan o‘ngda to‘rgan raqamlar o‘chiriladi va a) o‘chirilgayotgan raqamlarning birinchisi 5 dan katta bo‘lsa, saqlanayotgan oxirgi raqamga 1 qo‘shiladi, b) o‘chirilgayotgan raqamlarning birinchisi 5 dan kichik bo‘lsa o‘zgartirilmaydi , v) o‘chirilayotgan raqamning birinchisi 5 bo‘lib, qolganlarini ichida 0 dan farqlilari bo‘lsa , oxirgi raqamga 1 qo‘shiladi, g) o‘chirilgayotgan raqamlarning birinchisi 5 va qolganlari 0 bo‘lsa saqlanayotgan son toq bo‘lsa unga 1 qo‘shiladi, juft bo‘lsa qo‘shilmaydi.
Taqribiy sonning limit absolyut xatosi bilan ishonchli raqamlari orasida munosabat mavjud:
(keng ma’noda), (tor ma’noda).
Aksincha, agar sonning limit absolyut nisbiy xatosi ushbu

tengsizlikni qanoatlantirsa, a son tor ma’noda n ta ishonchli raqamga ega.
5. funksiyaning qiymatini x=(x₁,,...,x_n) taqribiy nuqtada hisoblash zarur,
Berilgan: argumentlarning xatoliklari: Topish kerak funkssiyaning xatoliklarini: Bu xatoliklar nazariyasining to‘g‘ri masalasi. Teskari masalada lar beriladi, larni topish kerak.
Echish: funksiyani nuqtaning biror atrofida uzluksiz differensiallanuvchi deylik, shu atrofga tegishli bo‘lsin, Lagranjning chekli orttirmalar formulasiga asosan
c-o‘rta qiymat, ya’ni quyidagi formulalarni yozish mumkin:

.
Teskari masala noaniqdir. Echimlardan biri teng ta’sir prinsipidan topiladi.Umumiy xatolikka barcha argumentlar bir xil hissa qo‘shadi deb qabul qilinadi,ya’ni