1-Ma’ruza Kompleks sonlar. Aniqmas integral. Integrallar jadvali. Aniqmas integralning xossalari va hisoblash usullari. Ratsional

1-Ta’rif. Agar X oraliqning barcha nuqtalarida  

 

 

                                                       (1) 

tenglik  o‘rinli  bo‘lsa, 

      o‘sha  oraliqda        funksiyaning  boshlang‘ich  funksiyasi 

deb ataladi.  

Masalan: 

            funksiya              uchun boshlang‘ich funksiyadir, 

yoki 

         | |          funksiya       

 

 

 uchun boshlang‘ich funksiya bo‘ladi. 

YUqoridagi  ta’rif  hamda  misollardan  ko‘rinayaptiki,  agar 

      funksiya       

funksiyaning  biror  oraliqda  boshlang‘ich  funksiyasi  bo‘lsa,  o‘sha  oraliqda 

         

ifoda ham boshlang‘ich funksiya bo‘ladi, chunki 

           0 bo‘lib,       . Demak, 

berilgan  funksiyaning  boshlang‘ich  funksiyalari  cheksiz  ko‘p  ekan.  Umuman, 

boshlang‘ich funksiyalar haqidagi quyidagi teorema o‘rinli. 

1-Teorema. Har qanday uzluksiz funksiya cheksiz ko‘p boshlang‘ich funksiyalarga ega 

bo‘lib, ularning ixtiyoriy ikkitasi bir- biridan o‘zgarmas songa farq qiladi.  

◄Isbot.  Uzluksiz  funksiyaning  boshlang‘ichi  mavjudligini  isbotlash 

muammoliroq  bo‘lganligi  sababli,  biz  bu  masalani  ochiq  qoldiramiz.  Boshlang‘ich 

funksiyalarning  soni  cheksiz  ko‘pligi  yuqorida  ko‘rsatildi.  Bizga  ikkita  boshlang‘ich 

funksiyaning bir- biridan o‘zgarmasga farq qilishini isbotlash qoldi. 

     hamda       

lar 

     funksiya uchun boshlang‘ich funksiyalar bo‘lsin. Demak  

 

 

           ,                         

Bu ikki tengliklarni bir- biridan ayirsak 

 

 

                

ya’ni 

[           ]      

Agar fuknsiyaning hosilasi nolga teng bo‘lsa, uning o‘zi o‘zgarmas bo‘lganligi uchun  

                

---

2 

 

shuni isbotlash talab etilgan edi.  

Demak  ixtiyoriy  ikkita  boshlang‘ich  funksiya  uchun 

                 deb 

yozish mumkin. ► 

2-Ta’rif.  Agar  X  oraliqda 

       funksiya        uchun  boshlang‘ich  funksiya  

bo‘lsa, u holda o‘sha oraliqda 

          ifodani       funksiyaning aniqmas integrali 

deb yuritiladi va  

∫        kabi yoziladi. 

Demak ta’rifga ko‘ra: 

∫                                                               (2) 

bu  yerda 

  ∫

  aniqmas  integral  belgisi, 

    integrallash  o‘zgaruvchisi,      - 

integrallanuvchi  funksiya  hamda,   

        -  esa  integral  belgisi  ostidagi  ifoda  deb 

yuritiladi. 

Agar 

      funksiya        ning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, aniqmas integral 

geometrik  jihatdan  bu  boshlang‘ich  funksiyani  vertikal  ravishda  yuqoriga  va  pastga 

siljitishlardan hosil bo‘ladigan chiziqlar sinfini ifodalaydi. 

Funksiyalarni  integrallash  amali  funksiyalarni  differensiallash  amaliga  teskari 

bo‘lgan amaldir. Ammo differensiallash amali kabi elementar funksiyalarni integrallash 

har  doim  ham  mumkin  bo‘lavermaydi.  SHuning  uchun  funksiyalarni  sinflarga  ajratib, 

bu sinflarni integrallash usullarini alohida o‘rganamiz.