1-Ma’ruza: Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi. Gauss usuli. Matritsa determinantini Gauss usuli bilan hisoblash. Teskari matritsani Gauss usuli bilan hisoblash. Iteratsiya usuli

Ta’rif: Agar detA0 bo‘lsa, A matritsa maxsus bo‘lmagan matritsa, detA=0 bo‘lsa, A matritsa maxsus matritsa deyiladi.
Agar A maxsus bo‘lmagan matritsa bo‘lsa, ya’ni uning determinanti
(5)

bo‘lsa, (2) sistema yagona yechimga ega bo‘ladi. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish uchun tadbiq qilinadigan usullarni ikkita aniq va taqribiy yechish usullaridan iborat bo‘lgan guruhlarga bo‘lamiz.

1.2. Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechishning Gauss usuli
(noma’lumlarni ketma-ket yo‘qotish usuli)


Karl Fridrich Gauss(taniqli nemis matematigi (1777-1855)) usulining mohiyati quyidagidan iborat. Qulaylik uchun (2) chiziqli tenglamalar sistemasini quyidagi ko‘rinishda yozamiz:
(6)
Bu sistemaning birinchi yetakchi-tenglamasidagi birinchi noma’lum oldidagi a₁₁ koeffitsient noldan farqli bo‘lsin: a₁₁0. Agar a₁₁= 0 bo‘lsa, bu holda yetakchi-tenglamani sistemadagi tenglamalaridan birortasida x₁ ning koeffitsient noldan farqli bo‘lsa shu tenglamala bilan o‘rinlarini almashtiramiz.
Dastlab (6) sistemaning birinchi tenglamasidan boshqa barcha tenglamalaridan x₁ noma’lumni yo‘qotamiz. Buning uchun eng avvalo 1-tenglamaning har ikkala tomonini a₁₁0 koeffi­tsientga bo‘lamiz;

bu yerda (7)
bu holda berilgan sistemaga teng kuchli ushbu sistemani hosil qilamiz:

Endi bu sistemaning birinchi tenglamasidan foydalanib, keyingi tenglamalardagi x₁ noma’lumni yo‘qotish, ya’ni uning koeffitsentini nolga aylantirish uchun quyidagi amallarni ketma-ket bajaramiz. Birinchi tenglamani a₂₁ ga ko‘paytiramiz va nkkinchi tenglamasidan ayiramiz. So‘ngra birinchi tenglamani a₃₁ ga ko‘paytiramiz va uchinchi tenglamadan ayiramiz va hokazo. Natijada yana berilgan sistemaga teng kuchli ushbu yangi sistemani hosil qilamiz:
(8)
bu yerda quyidagicha belgilashlar kiritilgan:
(9)
Endi (8) sistemaning ikkinchi tenglamasini koeffitsientga bo‘lamiz (uni noldan farqli deb faraz qilamiz). So‘ngra hosil bo‘lgai sistemaning ikkinchi tenglamasini ketma-ket , ,..., ga ko‘paytiramiz va sistemaning uchinchi, to‘rtinchi ,..., n-tenglamalaridan mos ravishda navbati bilan ayiramiz.

;
(10)
Bu jarayonni davom ettirib quyidagi,
(11)
uchburchak sistemaga kelamiz, bujarayonni olg‘a borish deyiladi. Uchburchak sistema bo‘lgani holda so‘nggi(oxirgi) tenglamadan ni topamiz; so‘ngra x_n ning qiymatini oldingi tenglamaga qo‘yib, x_n-1 ni topamiz va hokazo, bu quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi bu jarayonni orqaga qaytish deyiladi.