1-ma’ruza amaliy mashg’uloti To’plamlar ustida amallar Kompleks sonlar

1-ma’ruza amaliy mashg’uloti

1. To’plamlar ustida amallar

2. Kompleks sonlar

2. Kompleks sonlar.

1.Kompleks sonlarning algebraik, trigonometrik, ko’rsatkichli formalari va ular ustida amallar.

1. Ta’riflar. va haqiqiy sonlar, esa qandaydir bir simvol bo’lsa, ( ) , ifoda kompleks son deyiladi, bunda quyidagi shartlar qabul qilingan deb hisoblanadi.

1) ; va ; ,

2) faqat , bо‘lgandagina , bо‘ladi,

3) ,

4)

1) va 4) shartlardan ning darajalari hosil bо‘ladi:

, , , va hakozo. (1)

kompleks sonda , bo’lsa, mavhum son deyiladi. son mavhum birlik deyiladi .

va sonlar z kompleks sonning mos ravishda haqiqiy va kompleks qismi deyiladi va , kо‘rinishda belgilanadi .

Agar bulsa, - haqiqiy son, agar bо‘lsa, - sof mavhum son bо‘ladi. Mavhum qismlarining ishorasi bilangina farq qiluvchi va kompleks sonlar qо‘shma kompleks sonlar deyiladi .

Agar va ikkita kompleks son berilgan bо‘lsa, ular ustida algebraik amallar quyidagicha bajariladi:

Kompleks sonlarni darajaga kо‘tarish ikkihadni darajaga kо‘tarish

kabi bajariladi, sonnining darajalari quyidagi formulalar bо‘yicha aniqlanadi.

va h.k.

Umuman , (3)

1-misol. va sonlarning yig‘indisi va ayirmasini toping

Yechish. (2) formulaning birinchi va ikkinchisidan quyidagilarni topamiz:

,

.

2-misol. va kompleks sonlar kо‘paytmasini toping

Yechish. (2) formulaga kо‘ra quyidagini hosil qilamiz:

3-misol. ni toping

Yechish: bо‘lgani uchun

Shunday qilib, ekan.

Har bir kompleks son geometrik jihatdan koordinatlar tekisligining nuqtasi yoki vektori bilan tasvirlanadi.

Kompleks son tasvirlanadigan tekislik kompleks tekislik deyiladi.

z kompleks soniga mos keluvchi N nuqtaning holatini r va qutb koordinatlari bilan ham aniqlash mumkin.

Bunda koordinatlar boshidan N nuqtagacha bо‘lgan masofaga teng soni kompleks sonning moduli deyiladi va bilan belgilanadi; vektorning о‘qining musbat yunalishi bilan ќosil qilgan burchak kompleks sonning argumenti deyiladi va kabi belgilanadi.

kompleks son uchun quyidagi formula о‘rinlidir:

(4)

bunda ning bosh qiymati shartni qanoatlantiradi.

4-misol. kompleks sonning moduli va argumentini toping.

Yechish. bо‘lganligi uchun tenglamadan argumentni topamiz:

.

Shunday qilib,

Kompleks sonning kо‘rinishdagi ifodasi kompleks sonning algebraik shakli deyiladi.

Kompleks sonning kо‘rinishdagi ifodasi uning trigonometrik shakli deyiladi.

Trigonometrik kо‘rinishda berilgan kompleks sonlar ustida bajariladigan amallar:



(5)

(6)

(7)

, (8)

bunda k=0,1,2,..,(n-1).

(7) va(8) formulalar Muavr formulalari deyiladi.

(9)

(9) ga Eyler formulasi deyiladi.

4-misol. sonni sakkizinchi darajaga kо‘taring.

Yechish. Berilgan sonni trigonometrik formada tasvirlaymiz:

Muavr formulasiga ko’ra quyidagini ќosil qilamiz:



5-misol. ni toping.

Yechish. -1 sonni trinometrik formada tasvirlaymiz:

(8) formulaga kо‘ra quyidagiga egamiz:

. ga 0 va 1 qiymatlarni berib, ildizning ikkita har xil va qiymatini hosil qilamiz.