1. Mantiq algebrasidagi arifmetik amallar. Arifmetik amallarni chinlik to`plami. Jegalkin ko`phadi

Mantiq algebrasidagi monoton funksiyalar

0<1 munosabati orqali tо‘plamni tartiblashtiramiz.

1-tarif. va qiymatlar satri bo’lsin. Agar (hech bo`lmaganda bitta raqam uchun tengsizlik ishorasi bajarilsa) yoki va qiymatlar satrlari ustma-ust tushsa, U holda qiymatlar satri qiymatlar satridan oldin keladi deb aytamiz va shaklida yozamiz.

2-ta’rif. va ixtiyoriy qiymatlar satrlari bo’lsin. dan funksiya monoton funksiya deb ataladi.

3-ta’rif. dan munosabat kelib chiqsa, U holda nomonoton funksiya deb ataladi.

Asosiy elementar mantiqiy funksiyalardan funksiyalar monoton funksiyalar bulib, funksiyalar nomonoton funksyalardir. 1-teorema. Monoton funksyalarning superpozitsiyasidan hosil qilingan funksiya yana monoton funksiya bo’ladi.

Isbot. F monoton funksiyalar sistemasi bo’lsin va shu sistemadagi funksiyalar superpozitsiyasidan hosil qilingan funksiya monoton ekanligini isbot qilish kerak bo’lsin.

0 rangli superpozitsiya uchun bu tasdiqning to`g‘riligi aniq, chunki F sistemadagi hamma funksiyalar monoton funksiyalardir. rangli superpozitsiya uchun teoremadagi tasdiq tо‘g‘ri bo’lsin. Uning rangli superpozitsiya uchun ham tо‘g‘riligini isbotlaymiz. bo’lsin. U holda

Funksiyalarning monoton ekanligini isbotlash lozim. Bu yerda va y_i lar x_j о‘zgaruvchilarning birortasi bilan mos kelishi mumkin. funksiyaning monotonligidan ning monoton funksiya ekanligi kelib chiqadi. funksiyaning monotonligini isbotlaymsiz. Buning uchun funksiyaning ikkita va taqqoslanadigan qiymatlar satrini ko`rib chiqamiz:

bo’lsin. U holda ekanligini ko`rsatishimiz kerak. Quyidagilar ma’lum:

bu yerda bо‘lganda

bu yerda bо‘lganda *

monoton funksiya va dan kelib chiqqanligidan bo’ladi. ya’ni chunki monoton funksiyadir. M ekanligidan rangli superpozitsiya uchun teorema isbot bo’ladi. Demak, monoton funksiyalarning superpozitsiyasidan hosil qilingan funksiya yana monoton funksiyadir.

Kon`yunksiya va diz`yunksiya monoton funksiyalar bulganligi uchun, teoremaga asosan, ularnng superpozitsiyasidan hosil qilingan funksya ham monoton bo`ladi.

2-teorema. Agar bo’lsa, U holda undan argumentlari o’rniga 0,1 va funksiyani qo`yish usuli bilan funksiyani hosil qilish mumkin.