3-anıqlama. (Funkciyanıń noqattaǵı limitiniń Koshi anıqlaması). Eger
0
|
san
|
ushın 0
|
sanı
|
|
tabılıp,
|
0
|
|
x a
|
|
|
|
shártin
|
|
|
|
qanaatlandırıwshı x x
|
noqatta
|
|
f x b
|
|
|
teńsizligi
|
orınllı
|
bolsa, onda
|
|
|
y f x funkciyanıń a noqattaǵı ( x a daǵı) limiti b sanına teń deymiz.
|
|
|
|
Mısal.
|
f x
|
x2 1
|
|
funkciyanıń
|
x 1
|
|
noqattaǵı limiti 2 ge
|
teń
|
ekenin
|
x 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kórsetemiz. 0 san ushın dep alsaq,
1
x 1 shártin
qanaatlandırıwshı x x noqatta
x2 1
1
1 2
1
teńsizlik
orınlı boladı. Demek, lim x2 1 2 .
x1 x 1
1-eskertiw. Geyne anıqlamasındaǵı xn izbe-izliktiń elementleriniń a noqattan ózgeshe bolıwı hám Koshi anıqlamasındaǵı argumenttiń mánisleri 0 x a shártin qanaatlandırıwı, yaǵnıy a noqattan ózgeshe bolıwı, shártleri úlken áhmiyetke iye. Bul talaptıń qoyılıwı sebebi y f x funkciya a noqatta anıqlanbaǵan bolıwı da múmkin.
2-eskertiw. Geyne anıqlamasınıń shártlerin qanaatlandırıwshı xn izbe-izliklerge sáykes funkciyanıń dara mánislerinen dúzilgen f xn izbe-izliklerdiń bari bir sanǵa b sanına jıynaqlı bolıwı kerek. Eger bunday bolmasa (yaǵnıy f xn
izbe-izlik hár qıylı sanlarǵa jıynaqlı bolsa), onda funkciya a noqatta limitke iye emes. Mısallar keltiremiz.
№1. D x - Dirixle funkciyası sanlar kósheriniń hesh bir noqatında limitke iye emes. Haqıyqatında da, a R noqatına jıynaqlı racional sanlar izbe-izligi ushın funkciyanıń sáykes dara mánisleriniń izbe-izliginiń limiti 1 ge, al a noqatına jıynaqlı irracional sanlar izbe-izligi ushın funkciyanıń sáykes dara mánisleriniń izbe-izliginiń limiti 0 ge teń.
№2. f x sin 1 funkciyanıń anıqlanıw oblastı D f R \ 0 bolıp, x 0
x
noqat funkciyanıń D f anıqlanıw oblastınıń limit noqatı.
-
x 0 noqatqa jıynaqlı
|
|
|
1
|
n 1, 2,... sanlar izbe-izligin alamız. Bul
|
|
xn
|
n
|
|
|
|
|
izbe-izlik elementlerine sáykes funkciyanıń dara mánislerinen dúzilgen izbe-izlik elementleri f xn sin n 0 bolıp, buń izbe-izliktiń limiti nólge teń.
-
x 0 noqatqa jıynaqlı
|
|
|
|
1
|
|
n 1, 2,... sanlar izbe-izligin alamız.
|
|
|
|
xn
|
|
2
|
2n
|
|
|
|
|
Bul izbe-izlik elementlerine sáykes funkciyanıń dara mánislerinen dúzilgen izbe-izlik elementleri f xn sin 2 2 n 1 bolıp, bul izbe-izliktiń limiti 1 ge teń.
Demek, berilgen funkciya x 0 noqatta limitke iye emes.
3-eskertiw. y f x funkciya anıqlanǵan x kóplik a noqattıń bazı bir dógeregin tolıq qaplawı shárt emes. Bul kópliktiń a noqattıń qálegen oyılǵan dógereginde keminde bir noqatı bar bolıwı ǵana talap etiledi.
4-eskertiw. Koshi anıqlamasındaǵı 0
x a
shárti
|
|
|
|
|
0
|
|
a x a , x a qatnaslarǵa, yaǵnıy
|
x U a
|
shártine ekvivalent, sonday-
|
aq,
|
|
f x b
|
|
teńsizligi b f
|
x b
|
teńsizliklerine, yaǵnıy
|
|
|
x U b shártine ekvivalent.
5-eskertiw. f x funkciyanı aldınnan berilgen 0 anıqlıqta juwıqlastırıw ideyasınan paydalanıp, funkciyanıń noqattaǵı limitiniń Koshi anıqlamasın tómendegishe basqasha aytıwımız da múmkin.
Eger aldınnan berilgen qálegen 0 anıqlıq ushın a noqattıń sonday oyılǵan
-dógeregin kórsetiw múmkin bolıp, argumenttiń a noqattıń usı kórsetilgen
oyılǵan dógeregine derek mánisleri ushın b sanı
|
f x funkciyanı 0 anıqlıqta
|
juwıqlastırsa, onda b sanı f x funkciyanıń a
|
noqattaǵı limiti dep ataladı (1-
|
súwret).
|
|
|
|
|
|
6-eskertiw. f x funkciya a noqatta jalǵız bir limitke iye boladı.
|
Haqıyqatında da, funkciyanıń noqattaǵı limitiniń
|
Geyne anıqlaması ushın bul
|
|
f x
|
|
izbe-izliginiń limitiniń birden-birliginen,
|
al Koshi anıqlaması ushın
|
n
|
|
|
|
tómendegi ekvivalentlik teoremasınan kelip shıǵadı.
1-teorema. Funkciyanıń noqattaǵı limitiniń Geyne hám Koshi anıqlamaları óz-ara ekvivalent.
xn
Dálillew. 1) Dáslep, meyli, anıqlaması boyınsha limiti
b
sanı f x
bolsın.
funkciyanıń
Usı b
a
noqattaǵı Koshi
sanı f x
1-súrwet
funkciyanıń a noqattaǵı Geyne anıqlaması boyınsha da limiti bolatuǵının dálilleymiz. Meyli, xn -elementleri a noqattan ózgeshe, a noqatqa jıynaqlı qálegen izbe- izlik bolsın, usı izbe- izlikke sáykes funkciyanıń dara mánislerinen
dúzilgen f izbe- izliktiń b noqatqa jıynaqlı ekenin dálillew talap qılınadı.
0 sanın hám bul san boyınsha 0 sanın 0 x a shártin qanaatlandırıwshı x x noqatta f x b teńsizligi orınlı bolatuǵınday qılıp saylap alamız.
xn izbe-izlik a noqatqa jıynaqlı bolǵanlıqtan saylap alınǵan 0 sanı
ushın
|
N nomer tabılıp, n N nomerler ushın
|
|
xn a
|
|
|
teńsizlik orınlı boladı.
|
|
|
n nomer ushın xn
|
a bolǵanlıqtan n N nomerler ushın 0
|
|
xn a
|
|
teńsizlik
|
|
|
orınlı
|
hám Koshi
|
anıqlaması boyınsha n N
|
|
nomerler
|
ushın
|
|
f xn b
|
|
|
|
|
|
Do'stlaringiz bilan baham: |