1. Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglamalar,yechim tushunchasi,xususiy va umumiy yechim,integral chiziq,koshi masalasi

4.1-Ta’rif. n- tartibli chiziqli differensial tenglama deb,
(4.1)
ko’rinishdagi tenglamaga aytiladi, bu yerda va lar tenglama qaralayotgan biror sohada aniqlangan, uzluksiz funksiyalar yoki o’zgarmaslardir.
(4.1) tenglama o’ng tomonida turgan funksiya aynan nolga teng ( ) bo’lsa, u holda (4.1) tenglamaga o’ng tomonsiz, yoki bir jinsli, noldan farqli ( ) bo’lganda esa, o’ng tomonli, yoki bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglama deyiladi. Demak,
(4.2)
tenglamaga bir jinsli tenglama deyiladi, chunki tenglama chap tomoni larga nisbatan bir o’lchovli bir jinsli funksiyadir.
29.oraliq va birinchi integrallar n- chi tartibli
(13)
differensial tenglama berilgan bo’lsin.
Ma’lumki, bu tenglamaning umumiy integrali a ixtiyoriy ta o’zgarmassonlarorasidagi
(14)
bog’lanishdan iborat edi.
Boshqacha qilib aytganda (14) tenglik va undan ga nisbatan ketma-ket olingan ta hosilalaridan tuzilgan tenglamalar sistemasidan ixtiyoriyo’zgarmas larni yo’qotish natijasida (13) tenglama hosil bo’lsa, (14) ifodaga (13) ning umumiy integrali deyiladi.
Faraz etaylik
(15)
ifoda berilgan bo’lsin.
Bunda ixtiyoriyo’zgarmassonlar (15) ni ga nisbatan ketma-ket kmarta differensiallaymiz.
(16)
1 ta (15) va (16) tenglamalardan ta ixtiyoriy o’zgarmas sonlarni yo’qotish natijasida (13) tenglama hosil bo’lsa (15) ga (13) tenglamaning oraliq integrali deyiladi.
Agar oraliq integrali bitta ixtiyoriy o’zgarmas ga bog’liq bo’lsa, ya’ni

bunga (13) differensial tenglamaning birinchi integrali deyiladi.
Agar (15) ifodani differensial tenglama deb qarasak, uning o’zi ham - tartibli differensial tenglamadan iborat bo’ladi. Bu tenglamaning har qanday yechimi (13) tenglamaning ham yechimi bo’ladi.
Haqiqatdan ham (15) tenglamaning yechimi bo’lsa, u (15) va (16) tenglamalarni ayniyatga aylantiradi. (13) esa (15) va (16) ning natijasi bo’lgani sababli, bu funksiya (13) ni ham qanoatlantiradi. Ya’ni u (13) ning ham yechimi bo’ladi.
Agar (15) ni ga nisbatan marta ketma-ket integrallasak, uning umumiy integralida ixtiyoriy sonlardan tashqari ixtiyoriy o’zgarmas sonlar ham qatnashadi.
Yuqorida aytilganlarga asosan bu umumiy integral, (13) tenglamaning ham umumiy integrali bo’ladi.
Demak (13) differensial tenglama (15) ko’rinishdagi oraliq integraliga ega bo’lsa, uni integrallash masalasi chi tartibli differensial tenglamaning integrallash masalasiga keltiriladi.

34.nomalum funksiya qatnashmagan yuqori tartibli diffrensial tenglamalar. Noma’lum funksiya qatnashmagan yuqori tartibli differensial tenglamalar.

(8)
tenglamani integrallash uchun

almashtirishni olamiz. Bundan

Bularga asosan (8) tenglamani
(9)
ko’rinishga keltiramiz.
Faraz etamiz (9) tenglamaning umumiy integrali

bo’lsin.
Bundagi z o’rniga uning qiymatini keltirib qo’ysak,
(10)
ga ega bo’lamiz. Bu (8) tenglamaning oraliq integralidir.
Agar (10) ni ga nisbatan yechsak

1-tipdagi differensial tenglamaga ega bo’lamiz.
Bu tenglamani k marta ketma-ket integrallash natijasida (8) tenglamaning umumiy yechimi.

ga ega bo’lamiz.
35.argument qatnashmagan yuqori tartibli differinsial tenglamalar. (11)
ko’rinishdagi tenglamada ni argument uchun, ni funksiya uchun qabul qilib almashtirish yordamida tenglama tartibini 1 taga pasaytirish mumkin. Buning uchun dan bo’yicha olingan
hosilalarni dan ga nisbatan olingan hosilalar bilan almashtiramiz:

Bu topilgan qiymatlarni (1) tenglamaga qo’ysak, quyidagiga ega bo’lamiz:
(12)
faraz etaylik (12) tenglamaning umumiy integrali ni ga nisbatan yechish mumkin bo’lsin:

bundan


Bu (1) tenglamaning umumiy integralidir.