1. Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglamalar,yechim tushunchasi,xususiy va umumiy yechim,integral chiziq,koshi masalasi

Natija-1. Ushbu
(5)

Koshi masalasi yagona , yechimga ega. ■
Isbot. Ko’rinib turibdiki funksiya (5) Koshi masalasining yechimidan iborat. Yechimning yagonaligidan natija-1 ning isboti kelib chiqadi. ■
Quyidagi
(6)
belgilash natijasida (1) va (2) differensial tenglamalarni quyidagicha yozish mumkin:
L[y]=g(x), (7)
L[y]=0 . (8)
Bu yerda L[y] ifodaga differensial operator deyiladi. Endi differensial operatorning ayrim xossalari bilan tanishamiz.
Lemma-2. O’zgarmas ko’paytuvchini operator belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, ya’ni
L[cy]=cL[y], c=const.
Isbot.

Lemma-3. Ushbu

tenglik o’rinli.
Isbot.

Natija -2. Ushbu

tenglik o’rinli. Bu yerda .
Teorema-2. Agar y=y(x) funksiya [a,b] kesmada (8) bir jinsli differensial tenglamaning yechimi bo’lsa, u holda funksiya ham (8) tenglamaning yechimi bo’ladi.
Isbot. Teorema shartiga ko’ra L[y]=0. Bundan kelib chiqadi.
Teorema-3. Agar funksiyalar [a,b] kesmada (8) bir jinsli differensial tenglamaning yechimi bo’lsa, u holda

funksiya ham [a, b] kesmada (8) tenglamaning yechimi bo’ladi.
Isbot. Teorema shartiga ko’ra

Natija-3. Agar funksiyalar [a,b] kesmada (8) bir jinsli differensial tenglamaning yechimlaridan iborat bo’lsa, u holda ushbu

funksiya ham (8) tenglamaning yechimi bo’ladi.
54-56. Ostragratisky-Liuvill formulasi
Ushbu funksiyalar quyidagi
(1)
bir jinsli chiziqli differensial tenglamaning fundamental yechimlari sistemasini (F.Y.S) tashkil qilsin.
Quyidagi
(2)
Vronskiy determinantining hosilasini hisoblaymiz:


.
Bu tenglikda oxirgi diterminantdan tashqari barcha diterminantlarning qiymati nolga teng. Chunki ularning har birida ikkita satr elementlari bir xil. Shuning uchun oxirgi tenglik quyidagi ko’rinishni oladi:
. (3)
Bu yerda ushbu

formulani inobatga olsak (3) tenglik quyidagi
(4)
ko’rinishni oladi. Bu esa o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir. Oxirgi (4) tenglikni integrallab
(5)
Ostragratiskiy-Liuvill formulasini hosil qilamiz.
Agar biror nuqtada bo’lsa, u holda (5) formuladan

bo’lishi kelib chiqadi. Agar biror nuqtada bo’lsa, u holda (5) formuladan

ekanligi kelib chiqadi.