1. Funksional ketma-ketlik va limit funksiya tushunchalari. Funksional qator va uning yig’indisi

1-teorema. funksional ketma-ketlik to’plamda funksiyaga tekis yaqilashishi uchun

bo’lishi zarur va yetarli.
◄ zarurligi. Aytaylik,

bo’lsin. Ta’rifga binoan

bo’ladi. Bu tengsizlikdan

bo’lib, undan

bo’lishi kelib chiqadi.
Yetarliligi. Aytaylik

bo’lsin. Limit ta’rifga ko’ra

bo’ladi. Ravshanki
.
U holda uchun

bo’ladi. Bundan

Bo’lishi kelib chiqadi.►
5-misol. Ushbu

Funksional ketama-ketlikning da tekis yaqinlashuv-chiligi ko’rsatilsin.
◄berilgan funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi

Bo’ladi. Endi

Ni topamiz:
.
Demak,

Bo’lib,

Bo’ladi.►
Eslatma. Agar funksional ketma-ketligi uchun to’plamda

Bo’lsa, funksional ketma-ketlik da tekis yaniqla-shishi shart emas.
Endi funksional ketma-ketlikning limit funksiyaga ega bo’lishi va unga tekis yag’inlashishini ifodalovchi teoremani keltiramiz:
2-teorema (Koshi teoremasi). funksional ketma-ketlik to’plamda limit funksiyaga ega bo’lishi va unga tekis yaqinlashishi uchun son olinganda ham shunday topilib, va da
,
Ya’ni
va da
(4)
Bo’lishi zarur va yetarli.
◄ zarurligi. Aytaylik, to’plamda funksional ketma-ketlik limit funksiya ga ega bo’lib, unga tekis yaqinlashsin:

Tekis yaqinlashish ta’rifiga ko’ra
bo’ladi. Xususan, va da

Tengsizliklar bajarilib, ulardan


Bo’lishi kelib chiqadi. Demak, (4) shart o’rinli.
Yetarliligi. funksional ketma-ketlik uchun (4) shart bajarilsin. Uni quyidagicha yozamiz:
da
(5)
Bo’ladi.
Ravshanki, tayin da sonlar ketma-ketligi uchun (5) shartning bajarilishidan uning fundamental ketma-ketlik ekanligi kelib chiqadi. Koshi teoremasiga ko’ra yaqinlashuvchi bo’ladi. Binobarin, chekli
(6)
Limit mavjud.
modomiki, har bir da (6) limit mavjud bo’lar ekan, unda avval ayganimizdek, to’plamda aniqlangan

Funksiya hosil bo’ladi uni bilan belgilaymiz. Bu funksiya funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi bo’ladi:
.
Endi (5) tengsizlikda, va larni tayinlab da limitga o’tamiz. Natijada

Hosil bo’ladi. Bu

Bo’lishini bildiradi. ►
aytaylik, funksional ketma-ketlik to’plamda yaqinlashuvchi bo’lib, funksiya uning limit funksiyasi bo’lsin:
.
agar

Bo’lsa, funksional ketma-ketlik to’plamda funksiyaga notekis yaqinlashadi deyiladi.