1. Determinant

Zaruriyligi. (4.2.1) sistema birgalikda va sonlar (ifodalar) sistemasi uning yechimi deylik. Bu yechimni sistemaning tenglamalariga qo‘yib, m ta

• Zaruriyligi. (4.2.1) sistema birgalikda va sonlar (ifodalar) sistemasi uning yechimi deylik. Bu yechimni sistemaning tenglamalariga qo‘yib, m ta
• tengliklarga ega bo‘lamiz va kengaytirilgan B maricaning (4.2.1) sistemaning o‘ng tomonidan iborat bo‘lgan (n+1) –ustunining har bir elementi oldingi (A matritsaning) n ta ustunlari mos elementlarining chiziqli kombinatsiyasidan iborat ekanligini ko‘ramiz. Demak, A va B lar ekvivalent bo‘lib, r(A)=r(B) kelib chiqadi.

Yetarliligi. Faraz qilaylik, (4.2.1) sistema matritsasining rangi uning kengaytirilgan matritsasining rangiga teng, ya’ni r(A)=r(B)=r bo‘lsin.

• Yetarliligi. Faraz qilaylik, (4.2.1) sistema matritsasining rangi uning kengaytirilgan matritsasining rangiga teng, ya’ni r(A)=r(B)=r bo‘lsin.
• A matritsaning noldan farqli r – tartibli minorini ajratib olamiz va uni bazis minor deb nomlaymiz. Uning ustunlariga (satrlariga) mos A matritsaning ustunlarini (satrlarini) bazis ustun-vektorlar (satr-vektorlar) deb nomlaymiz. Bazis satr-vektorlarga mos sistema tenglamalarini uning bazis tenglamalari deb, bazis ustun-vektorlarga mos noma’lumlarni sistemaning bazis noma’lumlari deb yuritiladi, ravshanki, ular r ta bo‘ladi; qolgan noma’lumlar (r bo‘lganda) ozod (erkin) noma’lumlar deb, ozod noma’lumlar soni S=n-r esa sistemaning ozodlik (erkinlik) soni deb ataladi.

Agar yuqorida olingan bazis minorga mos keluvchi sistema bazis tenglamalarini ajratib olib, ozod noma’lumlar nolga teng deb qabul qilsak, r noma’lumli r ta chiziqli tenglamalar sistemasiga ega bo‘lamiz va uning determinanti noldan farqli bo‘lganligi uchun yagona yechimga ega bo‘ladi (Buni 2- bobda ko‘rgan edik). Sistemaning qolgan tenglamalari ham bazis minorga mos tenglamalariga chiziqli bog‘liq bo‘lganliklari sababli, bazis noma’lumlar yuqoridagicha topilganda va ozodlari nolga teng deb olinganini hisobga olsak, qanoatlanishini payqash qiyin emas. Bu teoremaning yetarli qismining isbotidir.

• Agar yuqorida olingan bazis minorga mos keluvchi sistema bazis tenglamalarini ajratib olib, ozod noma’lumlar nolga teng deb qabul qilsak, r noma’lumli r ta chiziqli tenglamalar sistemasiga ega bo‘lamiz va uning determinanti noldan farqli bo‘lganligi uchun yagona yechimga ega bo‘ladi (Buni 2- bobda ko‘rgan edik). Sistemaning qolgan tenglamalari ham bazis minorga mos tenglamalariga chiziqli bog‘liq bo‘lganliklari sababli, bazis noma’lumlar yuqoridagicha topilganda va ozodlari nolga teng deb olinganini hisobga olsak, qanoatlanishini payqash qiyin emas. Bu teoremaning yetarli qismining isbotidir.