1. Dasturiy ta’minot va uning turlari

103. Matematik modellashtirishda anologiya usuli.
Analitik usul - masala echimini aniq matematik formulalar yoki mantiqiy ifodalar bilan (analitik ko’rinishda) tasvirlashdir. Bu usul aniq echish usuli hisoblanib, unda masala echimi berilgan boshlang’ich qiymatlarni o’z ichiga olgan formulalar ko’rinishida ifodalanadi. Odatda analitik usuldan oddiy matematik modelli masalalarni echishda foydalaniladi. CHunki murakkab modelli masalalarning echimini har doim ham analitik ko’rinishda ifodalash imkoni bo’lavermaydi. Sonli usul – taqribiy echish usuli hisoblanib, oliy matematika fanining hisoblash matematikasi bo’limida o’rganiladi. Bu usulga ko’ra matematik modelda berilgan ba’zi bir ifodalar, taqribiy ravishda o’ziga yaqin (ekvivalent) hamda sodda ko’rinishga ega bo’lgan boshqa ifodalarga almashtiriladi. Masalan funksiya hosilasi, chekli ayirmaga; aniq integral qiymati esa chekli yig’indiga almashtiriladi. Sodda ko’rinishga keltirilgan model ShK yordamida echiladi va masala echimi grafik yoki jadvallar shaklida ifodalanadi. Sonli usullardan biri iteratsiya usulidir. Taqribiy echish usuli iteratsiya usuli deb ataladi, agar noma’lum ustida bir qator takrorlanuvchi amallar bajarilib, har bir amallardan keyin noma’lum qiymati aniqlashtirilsa, shu bilan birga keyingi amallarni bajarishda noma’lumning oldingi aniqlashtirilgan qiymatidan foydalanilsa. Sonli-analitik usul – bu yuqorida aytilgan ikki usulning kombinaцiyasidan tashkil topgan usuldir. Bu usulda masala echimi asosan хosmas integral, cheksiz qator, maхsus funksiyalar yoki ularning kombinaцiyalari ko’rinishida ifodalanadi, lekin natijalar olinayotganda ayrim taqribiy hisoblashlardan foydalaniladi.
104.Matematik modellashtirish fanining boshqa fanlar bilan bog`liqligi (ijtimoiy, iqtisodiy, biologik). Modellarning mazmuni bilan qisqacha tanishib chiqamiz.
1. Fizik model. Tekshirilayotgan jarayonning tabiati va geometrik tuzilishi asl nusxadagidek, ammo undan miqdor (o`lchami, tezligi, ko`lami) jixatidan farq qiladigan modellar, masalan, samolyot, kema, avtomobil, poyezd, GES va boshqalarning modellari fizik modelga misol bo`ladi.
2. Matematik modellar tirik organizmlarning tuzilishi, o`zaro aloqasi, vazifasiga oid qonuniyatlarning matematik va mantiqiy-matematik tavsifidan iborat bo`lib, tajriba ma`lumotlariga ko`ra yoki mantiqiy asosda tuziladi, so`ngra tajriba yo`li bilan tekshirib ko`riladi.
Biologik hodisalarning matematik modellarini kompyuterda o`rganish tekshirilayotgan biologik jarayonning o`zgarish xarakterini oldindan bilish imkonini beradi. Shuni ta`kidlash kerakki, bunday jarayonlarni tajriba yo`li bilan tashkil qilish va o`tkazish ba`zan juda qiyin kechadi. Matematik va matematik-mantiqiy modelning yaratilishi, takomillashishi va ulardan foydalanish matematik hamda nazariy biologiyaning rivojlanishiga qulay sharoit tug`diradi.
3. Biologik model turli tirik ob`ektlar va ularning qismlari - molekula, hujayra, organizm va shu kabilarga xos biologik tuzilish, funksia va jarayonlarni modellashda qo`llaniladi. Biologiyada, asosan, uch xil modeldan foydalaniladi. Ular biologik, fizik va matematik modellardir.
Biologik model - odam va hayvonlarda uchraydigan ma`lum bir holat yoki kasallikni laboratoriyada hayvonlarda sinab ko`rish imkonini beradi. Bunda shu holat yoki kasallikning kelib chiqish mexanizmi, kechishi, oqibati kabilar tajriba asosida o`rganiladi. Biologik modelda har xil usullar: genetik apparatga ta`sir qilish, mikroblar yuqtirish, ba`zi organlarni olib tashlash yoki ular faoliyati mahsuli bo`lgan garmonlarni kiritish va bosha usullar qo`llaniladi. Bunday modellarda genetika, fiziologiya, farmokologiya sohasidagi bilimlar tadqiq qilinadi.
4. Fizik-kimyoviy modellar biologik tuzilish, funksiya yoki jarayonlarni fizik yoki kimyoviy vositalar bilan qaytadan hosil qilishdir.
5. Iqtisodiy modellar taxminan XVIII asrdan qo`llanila boshlandi. F.Kenening "Iqtisodiy jadvallar"ida birinchi marta butun ijtimoiy takror ishlab chiqdrish jarayonining shakllanishini ko`rsatishga harakat qilingan.
Iqtisodiy tizimlarning turli faoliyat yo`nalishlarini o`rganish uchun har xil modellardan foydalaniladi. Iqtisodiy taraqqiyotning eng umumiy qonuniyatlari xalq xo`jaligi modellari yordamida tekshiriladi. Turli murakkab ko`rsatkichlar, jumladan, milliy daromad, ish bilan bandlik, iste`mol, jamg`armalar, investitsiya ko`rsatkichlarining dinamikasi va nisbatini tahlil qilish, uni oldindan aytib berish uchun katta iqtisodiy modellar qo`llaniladi. Aniq xo`jalik vaziyatlarini tekshirishda kichik iqtisodiy tizimlardan, murakkab iqtisodiy tizimlarni tekshirishda, asosan, matematik modellardan foydalaniladi.

105. Matematik modellar iyerarxiyasi.

Eng sodda modellarning matematik modellarini to`liq qo`rinishda, uning hatti-harakati uchun mos bo`lgan barcha omillarni qurish o`zini oqlaydi. Shuning uchun «soddadan-murakkablikka qarab» tamoyilini amaliyotga tadbiq etuvchi yondashuv o`rinli bo`lib, bu yondashuvga ko`ra keyingi qadamga murakkab bo`lmagan modelni sinchkovlik bilan o`rganib chiqqandan so`ng o`tiladi. Bunda har biri oldingi modellarni umumlashtiruvchi va ularni o`zining xususiy holi sifatida o`ziga biriktirib oluvchi nisbatan to`la modellar zanjiri (iyerarxiyasi) hosil bo`ladi.
Bunday zanjirni ko`p pog`onali raketaning modeli misolida o`rganmaiz. Oldingi ma’ruzaning oxirida qayd qilinganidek, haqiqiy bir pog`onali raketa birinchi kosmik tezlikka erisha olmaydi. Buning sababi - yonilg`ining kerakli bo`lmagan strukturaviy massani harakatlantirib yuborishga sarf bo`lishidir. Demak, raketa o`zining harakati davomida davriy ravishda ballastdan qutulib borishi lozim.
Amaliy konstruktsiyada esa bu raketa foydalanib bo`lingandan so`ng tashlab yuboriladigan bir nechta pog`onalardan tashkil topishini anglatadi.
107. Matematik modellarning nazariy va amaliy tadqiqoti, ularning adekvatligi.
Modelni tizim bilan adekvatligini tekshirish deganda uni tadqiq qilinayotgan tizim bilan o'lchamlarini mosligi hamda chiqish qiymatlarini tengligini tahlil qilish tushuniladi. Lekin shu narsani yoddan chiqarmaslik lozimki, model tizimni o'ziga bir qiymatli akslantirib olmaydi, aks holda modelni yaratishning ma'nosi qolmaydi. Adekvatlik tashqi shartlarni va tizimni ishlash rejimlarini ideallashtrish natijasida buziladi, bularga quyidagilarni misol qilish mumkin: u yoki bu parametrlarni chiqarib tashlashlik; ba'zi bir tasodifiy omillarni e'tiborga olmaslik. Tashqi ta'sirlar hamda tizim tuzilmasidagi ma'lum bir nyuanslar haqida aniq ma'lumotlar yo'qligi va shu bilan birga, amalga oshirilayotgan approksimatsiyalar, interpolyatsiyalar, taxminlar va gipotezalar ham model bilan tizim orasidagi moslikni pasayishiga olib keladi. Yuqorida keltirib o'tilgan va boshqa omillar tizim modeli bilan real tizim orasida vujudga keladigan nomutanosiblikga sabab bo'lishi mumkin.
Model bilan tizimning adekvatligini aniqlovchi sodda munosabat sifatida quyidagi kattalikni (og'ish) qarash mumkin:
∆y=|y₀₋y_m| yoki ∆y=
yoki bu yerda y₀ original ob’yektning xarakterlovchi kattalik, y_m esa tizimning mazkur kattaligiga mos modelning xarakterlovchi qiymat.
Amaliyotda moslik (adekvatlik), ya'ni model yordamida olingan natijalarni yaroqliligi ekspertlar tahlili orqali aniqlanadi. Quyidagi ko'rinishdagi tekshiruvlarni alohida ta'kidlab o'tish mumkin (quyidagi chizmaga qarang):

• 
  model elementlarini tekshirish (bir bir shubha tug'diradigan holatlarda elementlarni detalizatsiya qilish yoki qo'shimcha tahlil o'tkazish);
  
• 
  modelni tashqi ta'sirlarga tekshirish (qabul qilingan taxmin, approksimatsiya va gipotezalarni matematik usullar orqali baholash zarur);
  
• 
  tizim ishlashining konseptual modelini tekshirish (masalaning qo'yilishidagi xatoliklar aniqlanadi);
  
• 
  formallashgan va matematik modelni tekshirish;
  
• 
  chiqish xarakteristikalarini o'lchash va hisoblash yo'llarini tekshirish (echimning xatoligi aniqlanadi);
  
• 
  dasturiy modelni tekshirish (dasturiy va matematik modellarda amal (operatsiya) va algoritmlarni ishlashi mosligi tahlil qilinadi, o'zgaruvchilarni chegaraviy va namunaviy qiymatlarida tekshiruv-nazorat hisoblashlar o'tkaziladi, dasturlashni vositaviy xatoliklari aniqlanadi) va boshq.
  

108. Modellashtirishda analogiyaning qo’llanilishi

Modellashtirish ob'ekt (tizim) modellarini qurish, o'rganish va qo'llash jarayoni tushuniladi. U abstraksiya, analogiya, gipoteza va boshqalar kabi kategoriyalar bilan chambarchas bog'liq. Modellashtirish jarayoni, albatta, abstraktsiyalar, analogiya bo'yicha xulosalar va ilmiy farazlarni qurishni o'z ichiga oladi. Gipoteza- eksperimental ma'lumotlarga, cheklangan doiradagi kuzatishlarga, taxminlarga asoslangan ma'lum bir bashorat (taxmin). Oldinga qo'yilgan farazlar maxsus ishlab chiqilgan eksperiment jarayonida tekshirilishi mumkin. Gipotezalarni shakllantirish va to'g'riligini tekshirishda o'xshashlik hukm qilish usuli sifatida katta ahamiyatga ega. analogiya bo'yicha ikki ob'ektning har qanday o'xshashligi to'g'risidagi hukm deb ataladi. Zamonaviy ilmiy gipoteza, qoida tariqasida, amaliyotda sinovdan o'tgan ilmiy qoidalarga o'xshash tarzda yaratiladi. Shunday qilib, analogiya gipotezani eksperiment bilan bog'laydi.Modellashtirishning asosiy xususiyati shundaki, u yordamchi o'rinbosar ob'ektlar yordamida bilvosita bilish usulidir. Model tadqiqotchi o'zi va ob'ekt orasiga qo'yadigan va uning yordamida u o'zini qiziqtirgan ob'ektni o'rganadigan o'ziga xos bilim vositasi sifatida ishlaydi. Eng umumiy holatda, modelni qurishda tadqiqotchi ob'ektni o'rganish uchun muhim bo'lmagan asl ob'ektning o'sha xususiyatlarini, parametrlarini rad etadi. Asl ob'ektning saqlanib qolgan va modelga kiritilgan xususiyatlarini tanlash modellashtirish maqsadlari bilan belgilanadi. Odatda ob'ektning muhim bo'lmagan parametrlaridan abstraktsiyalashning bunday jarayoni rasmiylashtirish deb ataladi. Aniqroq aytganda, rasmiylashtirish - bu haqiqiy ob'ekt yoki jarayonni uning rasmiy tavsifi bilan almashtirish. Modellarga qo'yiladigan asosiy talab ularning real jarayonlarga yoki model o'rnini bosadigan ob'ektlarga muvofiqligidir.
109. Model va modellashtirish tushunchasi.
Modellashtirish - bu modellarni yaratish va tekshirish usuli. Modelni o'rganish ob'ekt haqida yangi bilimlarni, yangi yaxlit ma'lumotlarni olish imkonini beradi.
Modelning muhim xususiyatlari quyidagilardir: ko'rinish, mavhumlik, ilmiy fantaziya va tasavvur elementi, o'xshashlikdan qurilishning mantiqiy usuli sifatida foydalanish, faraziylik elementi. Boshqa so'zlar bilan aytganda,model vizual shaklda ifodalangan gipotezadir. Modelning muhim xususiyati - unda ijodiy tasavvurning mavjudligi. Tushunchalar, paradigmalar, turli stsenariylar, biznes va kognitiv o'yinlar va boshqalar, aytaylik, o'quv jarayonini modellashtirish shakllariga aylanishi mumkin. Modelni yaratish jarayoni juda mashaqqatli, tadqiqotchi go'yo bir necha bosqichlardan o'tadi.
Birinchidan - tadqiqotchini qiziqtiradigan hodisa bilan bog'liq bo'lgan tajribani chuqur o'rganish, ushbu tajribani tahlil qilish va umumlashtirish va kelajakdagi model asosida gipotezani yaratish.
Ikkinchi - tadqiqot dasturini tuzish, ishlab chiqilgan dasturga muvofiq amaliy faoliyatni tashkil etish, unga amaliyot tomonidan qo'yilgan tuzatishlar kiritish, model asosi sifatida olingan dastlabki tadqiqot gipotezasiga aniqlik kiritish.
Uchinchisi - Modelning yakuniy versiyasini yaratish. Agar ikkinchi bosqichda tadqiqotchi, xuddi qurilgan hodisa uchun turli xil variantlarni taklif qilsa, uchinchi bosqichda, ushbu variantlar asosida u o'zi ketayotgan jarayonning (yoki loyihaning) yakuniy namunasini yaratadi. amalga oshirish.
111. Jamiyat rivojlanishining demografik modeli. Maltus modeli. Ko'pgina hollarda, ob'ekt modelini yaratishga harakat qilganda, to'g'ridan-to'g'ri asosiy qonunlarni ko'rsatish mumkin emas yokiu itoat qiladigan variatsion printsiplarga yoki bizning bugungi bilimimiz nuqtai nazaridan matematik formulani qabul qiladigan bunday qonunlarning mavjudligiga umuman ishonch yo'q. Bunday ob'ektlarga samarali yondashuvlardan biri bu allaqachon o'rganilgan hodisalar bilan o'xshashliklardan foydalanishdir. Radioaktiv parchalanish va populyatsiya dinamikasi, xususan, sayyoramiz aholisining o'zgarishi o'rtasida qanday umumiy narsa bor edi? Biroq, eng sodda darajada, bunday o'xshashlik juda sezilarli bo'lib, buni Maltus modeli deb nomlangan eng oddiy populyatsiya modellaridan biri tasdiqlaydi. Bu oddiy bayonotga asoslanadi - populyatsiyaning t vaqt bilan o'zgarishi darajasi uning hozirgi kattaligiga mutanosib N (t)tug'ilish va o'lim ko'rsatkichlari yig'indisiga ko'paytiriladi . Natijada, biz tenglamaga erishamiz

(o'n)

radioaktiv parchalanish tenglamasiga juda o'xshash va ( va agar doimiy) da unga to'g'ri keladigan bo'lsa . Bu ajablanarli emas, chunki ularni keltirib chiqarishda xuddi shu fikrlar ishlatilgan. (10) tenglamaning integrali beradi

bu erda N (0) = N (t = t ₀ ) boshlang'ich raqam.
Yilda sek. 1.7 N (t) funktsiya grafigini doimiy va (har xil o'xshash egri chiziqlar har xil t _{0 ga} mos keladi - jarayon boshlanish vaqtining qiymatlari). Raqam doimiy bo'lib qolganda , ya'ni. bu holda, tenglamaning echimi muvozanat qiymati N (t) = N (0) bo'ladi . Tug'ilish va o'lim o'rtasidagi muvozanat beqaror, chunki tenglikning kichik buzilishi ham vaqt o'tishi bilan N (t) funktsiyani N (0) muvozanat qiymatidan tobora ko'proq og'ishiga olib keladi . At, populyatsiya kamayadi va at , va da nolga intiladi cheksiz tomonga burilib, ba'zi bir eksponent qonunga ko'ra o'sadi . Oxirgi holat Maltusning Yerni yaqinlashib kelayotgan haddan tashqari populyatsiyasidan keyingi barcha oqibatlarga olib keladigan qo'rquvi uchun asos bo'lib xizmat qildi.