1. Chiziqli differensial tenglamalfrni yechishning Lagranj (o’zgarmasni variyatsiyalash) usuli

Misol .

Misol .

Misol .

3.Chiziqli differensial tenglamalfrni yechishning Bernulli usuli

(1) tenglamaning yechimini x ning ikkita funksiyasining ko‘paytmasi shaklida izlaymiz:

. (11)

Bu funksiyalardan birini ixtiyoriy tanlab olish mumkin, ikkinchisini esa (1)–tenglama asosida aniqlanadi. (11) tenglikdan ni hisoblaymiz:

.

va ni (1) tenglamaga qo‘yamiz, natijada u quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:

(12)

yoki

. (13)

Funksiyalardan birini ixtiyoriy tanlab olish mumkin bo‘lgani uchun funksiyani qavs ichida turgan ifoda nolga teng bo‘ladigan qilib olamiz, ya’ni

(14)

bo‘lishini talab qilamiz. U holda funksiyani topish uchun (13) tenglikdan quyidagi tenglamani hosil qilamiz:

(15)

Dastlab, (14) tenglamadan ni topamiz:

.

(14) tenglamaning noldan farqli birorta yechimi zarur, shuning uchun C=1 deb olamiz. U holda

. (16)

ning bu topilgan ifodasini (15) tenglamaga qo‘yib, u funksiya uchun o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamani hosil qilamiz:

.

Bu tenglamani yechamiz:

. (17)

(16) va (17) lar u va v ning x orqali ifodalarini beradi. u va v ni (11)ga qo‘yib, berilgan chiziqli tenglamaning

umumiy yechimini hosil qilamiz .