1. Birinchi tartibli differensial tenglamalar Lagranj differensial tenglamasi Klero differensial tenglamasi

BIRINCHI TARTIBLI DIFFERENTSIAL TENGLAMALARNI TAQRIBIY YECHISHNING EYLER USULI.
Differensial tenglamalar kursini oʻrganish jarayonida maxsus koʻrinishlarga ega boʻlgan differensial tenglamalarni yechish usullarini koʻrib chiqdik. Bu usullar juda koʻp boshqa holatlarni qamrab ololmaydi. Shuning uchun ham tenglama koʻrinishiga bogʻliq boʻlmagan universal usullarni qidirishga sabab boʻldi. Hisoblash mashinalarining rivojlanishi taqribiy sonli usullarni muvoffaqiyatli qoʻllanilish imkoniyatini yaratdi.
Birinchi tartibli differensial tenglamalar uchun Koshi masalasidan boshlaylik. Aytaylik
_{ } (1)
koʻrinishdagi differensial tenglamani
_{ } (2)
boshlangʻich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi yaʼni Koshi masalasi berilgan boʻlsin. Umumiy holda Koshi masalasining yechimini topish mumkin emas. _{ } funksiyaning maʼlum koʻrinishlaridagina (1) ni umumiy yechimini topish usullari mavjud. Amaliy masalalarda koʻp hollarda differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullaridan foydalaniladi. Yechimni mavjudligi va yagonaligi haqidagi teorema shartlari bajarilgan deb faraz qilamiz. _{ } nuqta atrofida _{ } funksiya x boʻyicha uzluksiz, y boʻyicha esa Lifshits shartini qanoatlantirsin.
(1)-(2) Koshi masalasi yechimi y(x) ni _{ } nuqtaning atrofida Teylor qatoriga yoyamiz:
_{ 
 } (3)
_{ } nuqtaning kichik atrofida Teylor qatorining birinchi ikkita hadina olib, qolgan hadlarini tashlab yuboramiz, natijada quyidagicha taqribiy formulaga kelamiz
_{ } (4)
Agar _{ } ni (1) formuladagi koʻrinishidan foydalansak, u holda (4) formulani quyidagicha koʻrinishda yozish mumkin:
_{ } (5)
(5) formulani _{ } oraliqqa umumlashtirish uchun, ushbu oraliqni n ta boʻlakka boʻlamiz. Boʻlaklash qadami:

Masala yechimini _{ } nuqtalarda jadval koʻrinishida topishni maqsad qilib qoʻyamiz. Taqribiy _{ } qiymatlarni (5) formula boʻyicha topamiz:
_{ } (6)
bunda _{ } Ushbu formulaga Eyler usuli deyiladi. Eyler usuli universal usul boʻlib, f(x,y) ning koʻrinishiga bogʻliq emas, lekin xatolik nisbatan kata. Har qadamdagi xatolik _{ } tartibida boʻlib, bu xatolik qadamba-qadam ortib borib, b nuqtaga yetib borguncha xatolik _{ } gacha ortishi mumkin.