1. Безнапорное движение жидкости. Особенности гидравлики безнапорных потоков

19. Вывод основного уравнения для теоретического напора центробежного насоса.
Жидкость подводится к рабочему колесу насоса в осевом направлении, и каждая жидкая частица, попав в межлопаточное пространство, принимает участие в сложном движении.
Частица движется вместе с вращающимся колесом, что характеризуется вектором окружной (переносной) скорости, направленным перпендикулярно радиусу вращения (или по касательной к окружности вращения). Помимо этого та же частица перемещается относительно колеса, что характеризуется вектором относительной скорости, направленным по касательной к линии тока в относительном потоке. Поскольку линия тока совпадает с поверхностью лопатки, вектор относительной скорости оказывается направленным по касательной к поверхности лопатки.
Рассмотрим кинематическую структуру потока жидкости в рабочем колесе центробежного насоса (рис. 16.2).
Обозначим:
u – окружная скорость (направлена по окружности),
w – относительная скорость (направлена по касательной к лопатке),
c – абсолютная скорость (геометрическая сумма скоростей u и w).
Скоростям на входе присвоим индекс 1, а скоростям на выходе – индекс 2.
При выводе уравнения для напора примем следующие допущения:

1. 
   Все частицы жидкости внутри колеса движутся по одинаковым траекториям, следуя очертаниям лопаток. Это предположение равносильно предположению о бесконечно большом числе бесконечно тонких лопаток в колесе.
   
2. 
   Жидкость считается идеальной, т. е. движение частиц происходит без потерь энергии.
   
3. 
   Направления относительных скоростей совпадают с направлением касательных к лопаткам; треугольники скоростей для всех частиц жидкости, находящихся на окружности одинакового радиуса, подобны.
   

Рис. 16.2

На основе этих предположений получим выражение для теорети-ческого (идеального) напора, создаваемого центробежным насосом, а потом откорректируем его введением практических коэффициентов.

Используем теорему о моменте количества движения, которая формулируется так: приращение момента количества движения относительно любой оси за промежуток времени dt равно моменту импульса действующих сил M_и за этот промежуток времени.
Момент количества движения жидкости, поступающей на лопасти, относительно оси колеса – , а для жидкости, выходящей из колеса – .
Здесь α₁ и α₂ – углы между скоростями c и u (рис. 16.2), m – масса жидкости.
Момент импульса действующих сил запишем в общем виде: M_и = M dt.
Тогда, согласно вышеприведенной теореме, получим:

.

(16.3)

Проведем некоторые преобразования. Умножив уравнение (16.3) на угловую скорость колеса ω, получим:
.
Заметим, что ω r₂ = u₂, ω r₁ = u₁, M ω = N, где N – мощность.
Тогда

.

(16.4)

В соответствии с формулой (16.1) выразим мощность через расход и напор:
,
откуда
.
Подставив это значение в (16.4), получим
.
Выразим отсюда напор. Учитывая сделанные допущения, получим выражение для теоретического напора (отметим его индексом «т»):

.

(16.5)

Это и есть формула для теоретического напора центробежного насоса – формула Эйлера. Она связывает напор насоса со скоростями движения жидкости. Скорости, в свою очередь, зависят от подачи жидкости, частоты вращения насоса, а также от геометрии рабочего колеса и подвода.
Обычно угол входа α₁ = 90°. Тогда , и формула Эйлера примет вид

.

(16.6)

Здесь c_{2 u} – касательная составляющая абсолютной скорости схода.
Из формулы (16.6) видно, что напор H_т зависит от окружной скорости u₂ и касательной составляющей абсолютной скорости схода c_2u, т. е. от частоты вращения насоса и геометрии его выходных элементов.
Для повышения теоретического напора H_т можно:

• 
  увеличить радиус колеса r₂, что приведет к увеличению u₂ (напомним, что ), но эта возможность ограничивается габаритными размерами колеса;
  
• 
  увеличить число оборотов колеса, т. е. угловую скорость ω, но это может привести к возникновению кавитации и ограничивается прочностью колеса.
  

Для достижения больших напоров применяются многоколесные (многоступенчатые) насосы, последовательно суммирующие напоры, развиваемые каждым колесом в отдельности.
Таким образом, основное уравнение дает возможность по заданному потребному напору, частоте вращения и подаче насоса рассчитать выходные элементы рабочего колеса.
Исследуем структуру напора, создаваемого рабочим колесом.
Из геометрии треугольников скоростей на входе и на выходе (рис. 16.2) можем записать

Выразим отсюда члены с косинусами углов:

Подставив эти выражения в основное уравнение (16.5), получим

.

(16.7)

Напомним, что напор представляет собой энергию на единицу веса жидкости, т. е. удельную энергию. В нашем случае напор, развиваемый насосом, должен быть равен удельному количеству энергии, полученной жидкостью, т. е. разности удельных энергий в сечениях потока на сходе с колеса E₂ и на входе в него E₁:

(16.8)

Здесь член представляет собой скоростной, или динамический, напор и характеризует приращение кинетической энергии потока в рабочем колесе.
Величину можно назвать потенциальным,
или статическим, напором, характеризующим приращение потенциальной энергии потока. Тогда, обозначая
= H_дин и = H_ст,
полный напор H_т можно представить как сумму статического и динамического напоров:
H_т = H_дин + H_ст.
Сравним теперь выражения (16.7) и (16.8). Видим, что динамический напор в выражение (16.7) входит в явном виде. Следовательно, оставшиеся два члена и являются статическим напором, т. е.:

.

(16.9)

Из (16.9) видно, что избыточное давление, создаваемое насосом, зависит от изменения относительной w и окружной u скоростей.
Напомним, что все предыдущие рассуждения и полученные результаты справедливы для теоретических условий с учетом принятых нами начальных допущений:

• 
  жидкость идеальная, т. е. течение происходит без потерь;
  
• 
  насос имеет бесконечное число бесконечно тонких лопаток.
  

Для учета реальных условий и получения действительного значения напора вводят два поправочных коэффициента:

1. 
   коэффициент k, учитывающий конечное число лопаток (k = 0,7–0,8);
   
2. 
   коэффициент η_г, учитывающий влияние гидравлических потерь (η_г = 0,7–0,9).
   

Тогда формула для реального напора примет вид

.

(16.10)