1. Berilgan determinantni hisoblang

Namunaviy variant yechimi

1. Berilgan determinantni hisoblang:

a) uni j-ustun elementlari bo’yicha yoyib;

b) uni i-satr elementlari bo’yicha yoyib;

c) oldin j-ustundagi bittadan boshqa elementlarni nolga aylantirib, so’ngra shu

ustun elementlari bo’yicha yoyib.

,

Y e c h i s h. a) determinantni 4-ustun elementlari bo’yicha yoyib hisoblaymiz:

b) Determenantni 1-satr elementlari bo’yicha yoyib hisoblaymiz:

c) 4-ustun elementlarining bittasidan boshqasini nolga aylantiramiz, buning uchun dastlab 3 - satr elementlarini (-3)ga ko’paytirib, ularni 1 - satrning mos elementlariga qo’shamiz, so’ng 3 - satr elementlarini 4 ga ko’paytirib, ularni 2 - satrning mos elementlariga qo’shamiz, keyin 3 - satr elementlarini 2 ga ko’paytirib, ularni 4-satrning mos elementlariga qo’shamiz:

2. , matritsalar va sonlari berilgan:

a) ni toping;

b) ko’paytmani toping;

c) ni toping va ekanini tekshiring;

d) ni toping.

, ,

Y e c h i s h . a) matritsa elementlarini ga, matritsa elementlarini ga ko’paytirib, va matritsalarning mos elementlari qo’shamiz:

.

c) ni topish uchun matritsaning satr elementlarini matritsalarning ustun elementlariga ko’paytirib, qo’shamiz:

2. 
   matritsa determinantini hisoblaymiz:
   

.

algebraik to’ldiruvchilarini topamiz:

Bundan

ekanini tekshiramiz:

d) matritsa ustida elementar almashtirishlar bajaramiz:

Demak,

3. Berilgan tenglamalar sistemasining birgalikda ekanini tekshiring, agar birgalikda bo’lsa, ularni yeching:

a) Kramer formulalari bilan;

b) matritsa usuli bilan;

c) Gauss usuli bilan.

Berilgan sistemaning asosiy va kengaytirilgan matritsalarni tuzib, ularning rangini topamiz:

, .



,





. Demak, sistema birgalikda.

a) Determinantlarni hisoblaymiz:

. Demak, sistema yagona yechimga ega.

Bundan,

yoki

2. 
   
   

Sistemada quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

, , .

ni topamiz:

,

Bundan

yoki

c) Dastlab berilgan sistemadagi 1 - tenglamani ga bo’lamiz, so’ng

1 - tenglamani ga ko’paytirib, 2 - tenglamaga qo’shamiz va hosil bo’lgan

tenglamani (-2) ga bo’lamiz, keyin 1-tenglamani ga ko’paytirib, 3 –tenglamaga

qo’shamiz va hosil bo’lgan tenglamani 2ga ko’paytiramiz:

Ushbu sistemadagi 2 - tenglamani 3 - tenglamaga qo’shamiz:

Bundan

yoki

4. Bir jinsli tenglamalar sistemasini yeching.

Sistemaning determinantini hisoblaymiz:

, demak sistema cheksiz ko’p yechimga ega. Sistemaning dastlabki 2 ta tenglamasini yechamiz:

yoki

Determinantlarni topamiz:

Bundan,

,

yoki belgilash kiritsak,

5. nuqtalar berilgan:

a) vektorning uzunligini toping;

b) kesmani nisbatda bo’luvchi nuqtaning koordinatalarini aniqlang;

c) va vektorlarning skalyar ko’paytmasini toping;

d) vektorning vektor yo’nalishdagi proyeksiyasini hisoblang.

a) . Bundan, va

b) . Bundan

yoki

c) va . Bundan, .

d) .

Bundan

6. Piramidaning uchlari berilgan: .

a) yoq yuzini hisoblang;

b) , uchlardan va qirraning o’rtasini tutashtiruvchi kesim yuzini toping;

c) va qirralar orasidagi burchak kosinusini toping;

d) piramida hajmini hisoblang.

a) , .

Bundan

,

y.b.

b) kesma o’rtasi nuqta bo’lsin.

U holda

, , , ya’ni

, .

Bundan

,

y.b.

c) va qirralar orasidagi burchak bo’lsin. Bu burchak va vektorlar orasidagi burchakka teng bo’ladi.

Bundan

d) ,

Demak,