1-amaliy mashg’ulot. Parametrga bo'gliq xosmas integrallarning uzluksizligiga va hosilalarini topishga oid misollar. Parametrga bog'liq integrallarni hisoblash

1-AMALIY MASHG’ULOT.
Parametrga bo'gliq xosmas integrallarning uzluksizligiga va hosilalarini topishga oid misollar. Parametrga bog'liq integrallarni hisoblash.


1.Integralning parametr bo’yicha uzluksizligi
funksiya fazodagi biror

to’plamda berilgan bo’lsin. o’zgaruvchining to’plamdan olingan har bir tayinlangan qiymatida funksiya o’zgaruvchi bo’yicha oraliqda integrallanuvchi, ya’ni

integral mavjud bo’lsin. Ravshanki, bu integral o’zgaruvchining to’plamdan olingan qiymatiga bog’liq bo’ladi:
(1)
Odatda (1) integral parametrga bog’liq integral, o’zgaruvchi esa parametr deyiladi.
Teorema 1.Agar funksiya

to’plamda uzluksiz bo’lsa u holda

funksiya oraliqda uzluksiz bo’ladi.
2. Parametrga bog’liq integrallarni parameter bo’yicha differensiallash va integrallashga doir teoremalar va ularning isboti.
Endi parametrga bog’liq integralni parameter bo’yicha differensiallashni qaraymiz.
Teorema 2.(Leybnits qoidasi) funksiya

to’plamda berilgan va o’zgaruvchining oraliqdan olingan har bir tayin qiymatida o’zgaruvchining funksiyasi sifatida oraliqda uzluksiz bo’lsin. Agar funksiya M to’plamda xususiy hosilaga ega bo’lib, uzluksiz bo’lsa, u holda funksiya ham oraliqda hosilaga ega va ushbu
(1)
munosabat o’rinlidir.
Teorema 3.Agar funksiya

to’plamda berilgan va shu to’plamda uzluksiz bo’lsa, u holda
= (5)
bo’ladi.
Teorema4. Agar funksiya
to’plamda uzluksiz, xususiy hosilaga ega va da uzluksiz, funksiyalar hosilalarga ega va ular
(8)
shartni qanoatlantirsin. U holda

funksiya ham oraliqda hosilaga ega va
(9)
munosabat o’rinlidir.