1-amaliy mashg’ulot kompleks sonning moduli va argumenti. Kompleks sonlar ustida amallar. Kompleks sonning trigonometrik va ko’rsatkichli shakli. Muavr formulasi. Kompleks sondan ildiz chiqarish

---

1-AMALIY MASHG’ULOT 

Kompleks sonning moduli va argumenti. Kompleks sonlar ustida amallar. 

Kompleks sonning trigonometrik va ko’rsatkichli shakli. Muavr formulasi. 

Kompleks sondan ildiz chiqarish 

 

Kompleks sonning algebraik shakli: 

          . 

Bu  yerda  x  va  y  haqiqiy  sonlar  bo’lib,  ular 

   kompleks  sonning  mos  ravishda 

haqiqiy va mavhum qismi deb ataladi va ular 

                   

ko’rinishda  belgilanadi,  i  esa 

 

 

      xossaga  ega  bo’lgan  mavhum  bir  deb 

ataladi.   

            ko’rinishdagi  kompleks  sonni     haqiqiy  son  bilan  bir  deb 

hisoblanadi. 

 

1-Misol. 

           kompleks sonda                   

Algebraik shakldagi kompleks sonlar ustida amallar quyidagicha kiritiladi: 

Agar ikkita 

 

 

   

 

    

 

   

 

   

 

    

 

 kompleks sonlar uchun 

 

 

   

 

   

 

   

 

 

tengliklar o’rinli bo’lsa, ularni biz teng kompleks sonlar deb ataymiz: 

 

 

   

 

. 

Ikkita 

 

 

   

 

    

 

   

 

   

 

    

 

  kompleks  sonlarning  yig’indisi, 

ayirmasi, ko’paytmasdi va nisbati quyidagicha aniqlanadi: 

    

 

   

 

    

 

    

 

      

 

    

 

      

 

   

 

       

 

   

 

  

    

 

  

 

    

 

    

 

   

 

    

 

      

 

 

 

   

 

 

 

       

 

 

 

   

 

 

 

  

  

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

    

 

 

  

 

    

 

   

 

    

 

 

  

 

    

 

   

 

    

 

 

 

  

 

 

 

   

 

 

 

       

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

  

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

   

 

 

   

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

   

 

 

  

   mavhum  birni  darajaga  ko’targanda,  quyidagi  qiymatlarni  qo’yish  kerak: 

 

 

       

 

       

 

      

 

      

 

       

 

     va hokazo. 

 ̅          kompleks son            kompleks songa qo’shma deb ataladi.  

Qo’shma kompleks sonlar uchun ayrim xossalarini ko’rsatib o’taylik: 

     ̅                                    ̅                          

 

   

 

 

 

 

   

 

̅̅̅̅̅̅̅̅̅    

 

̅    

 

̅     

 

   

 

̅̅̅̅̅̅̅̅    

 

̅    

 

̅     

 (

 

 

 

 

)

̅̅̅̅̅̅

 

 

 

̅

 

 

̅

 

---

2- Misol. Ko’rsatilgan amallarni bajaring: 

                         

√     

     √ 

       (    √  )(√     )  

    √  

 √     

  

►  

                                        

 

            

 

       

  

√     

     √ 

 

(√     )(     √ )

(     √ )(     √ )

 

 √          

 

√ 

     

 

 √      

  

 

√ 

 

 

 

 

  

   (    √  )(√     )  

    √  

 √     

   √       

    √  

 √     

   √       

(    √  )( √     )

( √     )( √     )

  

   √       

 √              √  

 

      

   √       

 √       

  

 

  √           √       

  

 

  √ 

  

 

  

  

   

Kompleks sonning trigonometrik va ko’rsatkichli shakli quyidagicha bo’ladi: 

           kompleks sonning trigonometrik shakli 

                        yoki                          

Bu yerda 

  kompleks sonning moduli deb ataladi va 

    | |   √ 

 

   

 

 

formula  bilan  hisoblanadi.  φ  burchak  z  kompleks  sonning  argumenti  deyiladi  va 

       ko’rinishda  belgilanadi,  ya’ni           .  Bunda  φ  burchak  soat  strelkasi 

harakatiga  qarama-qarshi  yo’nalishda  hisoblansa  musbat  deb  olinadi,  aks  holda, 

ya’ni  soat  strelkasi  yo’nalishida  hisoblansa  manfiy  deb  olinadi.  Argyment  bir 

qiymatli aniqlanmaydi, 

   ga karrali bo’lgan qo’shiluvchi aniqligida aniqlanadi: 

                 , 

bu  yerda 

               va        bosh  qiymat  bo’lib,  u  quyidagi  shartlarda 

aniqlanadi: 

                yoki                

---

      

{

 

 

 

 

                      

                                     

                                   

                                                

                                               

 

3-Misol. Ushbu kompleks sonning moduli va argumentini toping 

            

► 

                                                           ; 

|      |   √    

 

      

 

  √ . ◄ 

Yuqorida    keltirilgan  kompleks  sonlar  va  vektorlar  orasidagi  moslik  kompleks 

sonlarni qo’shish va ayirish amallarini geometrik talqin qilish imkonini beradi.  

Kompleks sonlar uchun muhim formulani keltiramiz: 

                   

  

 

bu formula Eyler formulasi deb yuritiladi.  

      

  

 

kompleks sonning ko’rsatkichli shakli deb ataladi. 

 

Kompleks sonning trigonometrik va ko’rsatkichli shakllari kompleks sonlar 

ustida ko’paytirish  va  bo’lish  amallarini bajarishga  juda qulay.  Agar 

 

 

   

 

 

  

 

  

va 

 

 

   

 

 

  

 

 bo’lsa, u holda 

 

 

 

  

 

   

 

 

  

 

   

 

 

 

 

   

 

  

  

  

Shunday  qilib  kompleks  sonlar  ko’paytirilganda  ularning  modullari  ham 

ko’paytiriladi, argumentlari esa qo’shilar ekan: 

| 

 

 

 

|   | 

 

|   | 

 

| 

     

 

 

 

         

 

       

 

  

Agar 

 

 

    bo’lsa xuddi shu singar kompleks sonlarning nisbati uchun 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

   

 

  

 

 

 

tenglikni hosil qilish mumkin. U holda 

|

 

 

 

 

|  

| 

 

|

| 

 

|

 

   

 

 

 

 

        

 

       

 

 

  kompleks sonni   natural darajaga ko’tarish amalini kiritamiz: 

---

 

 

           

⏟    

       

   

                       kompleks sonni   darajaga ko’tarish 

 

 

  (   

  

)

 

   

 

 

   

   

 

                    

qoidaga ko’ra amalga oshiriladi. So’ngi tenglikda 

      bo’lsa 

                 

 

                    

Muavr formulasini hosil qilamiz. 

 

4-Misol. 

 

 

    

     

   

 

    

     

  kompleks  sonlarning  ko’paytmasi  va 

nisbatini toping. 

►

 

 

   

 

    

     

    

     

    

            

    

         

  

 

 

   

 

    

     

    

     

 

 

 

 

            

 

 

 

 

     

 

tengliklarni hosil qildik.◄ 

 

5-Misol. Darajaga ko’tarishni bajaring:  

      

 

  

►Kompleks sonning trigonometrik shakliga o’tib darajaga ko’taramiz: 

|     |   √        √                                   

Demak 

    √                      . 

 

Darajaga ko’taramiz: 

 

 

  (√  (   

 

 

       

 

 

))

 

  (√ )

 

(   

  

 

       

  

 

)     

  (√ )

 

√  (    (    

 

 

)         (    

 

 

))     √  (   

 

 

       

 

 

)   

    √ (√       √   )                       .◄ 

Kompleks sondan ildiz chiqarish: 

√ 

 

  √  

        

 

  √ 

 

 

 (

 

  

   

  )

                        

  

6-Misol. 

√       

 

 ildizning barcha qiymatlarini toping.  

►  

            kompleks sonni ko’rsatkichli shaklda yozamiz 

              √  

 (

  

      )

  

U holda 

---

 

 

  √√ 

 

 

 (

  

      )  

  √  

 (

 

  

   

  )

 

           

√       

 

 

{

 

 

 

 

 

           √  

 

 

 

  √  (   

 

 

       

 

 

)   √  (

√ 

 

 

 √ 

 

)                    

          √  

 (

 

  

  

  )

  √  (   

   

  

       

   

  

)                      

          √  

 (

 

  

  

  )

  √  (   

   

  

       

   

  

)                     

 

qiymatlarni hosil qilamiz. 

Misollar. 

1. 

 

 

 va 

 

 

 kompleks sonlar ustida arifmertik amallarni bajaring: 

a) 

 

 

         ;   

 

        .  b)   

 

        ;   

 

         .  c)   

 

       ; 

 

 

        . 

2. 

  kompleks sonning moduli va argumentini toping: 

a) 

       b)            c)            

3. 

 

 

    

    

   

 

    

     

 kompleks sonlarning ko’paytmasi va nisbatini toping. 

4. Darajaga ko’tarishni bajaring:  

       

 

. 

5. Darajaga ko’tarishni bajaring: 

(

   √ 

   

)

  

  

6. 

√  

 

 ildizning barcha qiymatlarini toping.