1-amaliy mashg’ulot. Chiziqli fazolar. Chiziqli va qavariq funksionallar. Minkovskiy funksionali

3-misol. Ushbu vektorlar da erklimi?
Yechish. bo’lsin. U holda sonlar ushbu cheksiz tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi:

Bu sistemaning dastlabki uchta tenglamasini qaraymiz:

Hosil bo’lgan uch noma’lumli uchta tenglamalar sistemasining asosiy determinanti noldan farqli (tekshiring). Shu sababli, sistema faqat nol yechimga ega . Demak, berilgan vektorlar chiziqli bog’lanmagan ekan.
Ta’rif. Agar chiziqli fazoda ta chiziqli erkli element topilib, har qanday ta element chiziqli bog’langan bo’lsa, fazo o’lchamli deyiladi. o’lchamli chiziqli fazodagi har qanday ta elementdan iborat chiziqli erkli sistema bazis deyiladi. Agar chiziqli fazoda elementlarning soni ixtiyoriy bo’lgan chiziqli erkli sistema mavjud bo’lsa, cheksiz o’lchamli deyiladi.
Masalan: chiziqli fazo –o’lchamli, chunki vektorlar chiziqli erkli va har qanday ta elementdan iborat vektorlar sistemasining chiziqli bog’liq ekanligini bevosita tekshirish mumkin. fazo esa cheksiz o’lchamli bo’ladi. Haqiqatan, bu fazoda

elementlar chiziqli erkli sistemani tashkil qiladi. Buning uchun bu sistemaning ixtiyoriy chekli qismi larning chiziqli erkli ekanligini ko’rsatish mumkin. Bundan tashkari o’zgarmaslar uchun

elementning koordinatalari mos ravishda ga teng bo’ladi.
Ta’rif. chiziqli fazo va uning qism to’plami bo’lsin. Agar ixtiyoriy va ixtiyoriy son uchun bo’lsa, fazo ning chiziqli qism fazosi deyiladi.
4- misol. haqiqiy sonlardan tuzilgan barcha – chi tartibli kvadrat matritsalar to’plami bo’lsin. U holda matritsalarni ko’shish va songa ko’paytirishga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladi. Ushbu to’plamning qism fazo ekanligini ko’rsatamiz. Haqiqatan ham, bo’lsa, va bo’ladi, ya’ni qism fazo tashkil etadi.
Agar bo’lsa, qism fazo bo’lmaydi, chunki va uchun bo’lganligi sababli munosabat bajarilmaydi.
Ta’rif. va chiziqli fazolar, hamda akslantirish berilgan bo’lsin. Agar 1) - chiziqli akslantirish, ya’ni barcha va sonlar uchun , ; 2) -biektiv ya’ni va bo’lsa, fazolar izomorf, esa ular orasidagi izomorfizm deyiladi.